《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第二册》

10. 容器$A$中盛有浓度为$a\%$的农药$m$ $L$，容器$B$中盛有浓度为$b\%$的同种农药$m$ $L$，$A$，$B$两容器中农药的浓度差为$20\%(a ＞ b)$，先将$A$中农药的$\frac{1}{4}$倒入$B$中，混合均匀后，再由$B$中倒一部分到$A$中，恰好使$A$中保持$m$ $L$，问至少经过多少次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于$1\%$?

答案： 解　设第n次操作后,A中农药的浓度为a,B中农药的浓度为b。,设a。=a%,b。=b%.b1=$\frac{1}{5}$(a。+4b。),a1=$\frac{3}{4}$a。+$\frac{1}{4}$b1=$\frac{1}{5}$(4a。+b。);b2=$\frac{1}{5}$(a+4b),a2=$\frac{3}{4}$a1+$\frac{1}{4}$b2=$\frac{1}{5}$(4a1+b1);b2=b=$\frac{1}{5}$(an−1+4b−1),a=$\frac{1}{5}$(4a。−1+b。−).
∴a−b。=$\frac{3}{5}$(an−1−bm−),
∴数列{a一b}是公比为$\frac{3}{5}$的等比数列.
∵a。−b。=$\frac{1}{5}$,
∴a−b=$\frac{3}{5}$(a−−b。)=$\frac{3}{25}$,
∴a−b=$\frac{3}{25}$.($\frac{3}{5}$)°−²=$\frac{1}{5}$.($\frac{3}{5}$)。'MEN.".依题意，得$\frac{1}{5}$.($\frac{3}{5}$)”＜1%,nEN',解得n≥6.故至少经过6次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%

11. 已知等比数列$\{ a_{n}\}$的各项均为正数，且$a_{1}+a_{3}=20$，$a_{3}+a_{5}=5$，则使得$a_{1}a_{2}\cdots a_{n}＜1$成立的正整数$n$的最小值为（ ）
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11

答案： C　设等比数列{a}的公比为q,q＞0,且a＞0.由题意得{aa31((11++qq²²))==250,'两式相除得q²=$\frac{1}{4}$,则q=$\frac{1}{2}$,所以a1=16,故a=2⁵−。,则a1a2….a=2⁴+³+²+¹+⁰+(−¹)+(−²)++(⁵。)=2＜1,即$\frac{n(9−n)}{2}$0,则n＞9,故正整数n的最小值为10.故选C;

12. （多选）（2023·佛山期中）在正项等比数列$\{ a_{n}\}$中，公比为$q$，已知$a_{1}a_{2}a_{3}=4$，$a_{4}a_{5}a_{6}=12$，$a_{n + 1}a_{n + 2}a_{n + 3}=324$，则下列说法正确的是（ ）
A. $q^{2}=3$
B. $a_{2}^{3}=4$
C. $a_{4}a_{6}=2\sqrt{3}$
D. $n = 12$

答案： BD　已知正项等比数列{a。)的公比为q(q＞0),则a=aq。−.由a1a2a3=4,a4asa6=12,得a²=4,a²=12,B正确;由a5=a2q²,得(a2q²)²=12,即q²=3,A错误;a5=汀2,则a4a6=a²=218,C错误;由a+1a。+2a+3=324得a²+2=324,即(a2q)²=324,因为a2=4,所以q3x=81=3⁴=(q⁹)⁴=q36,显然q＞1,所以3n=36,解得n=12,D正确.故选BD.

13. （2024·运城期末）若数列$\{ a_{n}\}$满足$\frac{1}{a_{n + 1}}-\frac{3}{a_{n}}=0$，则称$\{ a_{n}\}$为“追梦数列”. 已知数列$\{\frac{1}{b_{n}+1}\}$为“追梦数列”，且$b_{1}=2$，则数列$\{ b_{n}\}$的通项公式为$b_{n}=$________.

答案： 3"−1 解析　根据题意,“追梦数列”a。}满足$\frac{1}{a}$−$\frac{3}{a}$=0 (n∈N'),即a。=3a。+1,则数列{a)是公比为$\frac{1}{3}$的等比数列.若数列　$\frac{1}{b+1}${为“追梦数列”,则$\frac{1}{b.+1}$=$\frac{1}{b+1}$×($\frac{1}{3}$−1=$\frac{1}{3”}$,则b丑+1=3",则b=3"−1.

14. 设数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，$a_{1}=1$，________.
给出下列三个条件：
条件①：数列$\{ a_{n}\}$为等比数列，数列$\{ S_{n}+a_{1}\}$也为等比数列；
条件②：点$(S_{n},a_{n + 1})$在直线$y = x + 1$上；
条件③：$2^{n}a_{1}+2^{n - 1}a_{2}+\cdots+2a_{n}=na_{n + 1}$.
试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答.
(1)求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式；
(2)设$b_{n}=\frac{1}{\log _{2}a_{n + 1}\cdot\log _{2}a_{n + 3}}$，求数列$\{ b_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}$.

答案： 解　
(1)选择条件①.因为数列{S+a1}为等比数列,所以(S2+a;)²=(S;+a1)(S3+a1),即(2a1+a2)²=2a(2a+a2+a3).设等比数列{a}的公比为q,因为a=1,所以(2+q)²=2(2+q+q²),解得q=2或q=0(舍去),所以a。=aq−¹=2。−¹.选择条件②.因为点(S。,a+1)在直线y=x+1上,所以a+1=S+1(n∈N+),所以a=Sn−+1(n≥2),两式相减得a+1−a=a,即$\frac{an+1}{a}$=2(n≥2).因为a1=1,a2=S+1=a+1=2,所以$\frac{a2}{a,}$=2也符合上式.所以数列(a)是首项为1,公比为2的等比数列，所以a=aq−¹=2"−¹¹.选择条件③.当n≥2时,因为2”a1+2²−²a2+.…,+2a=na+1,　(i)所以2−²a1+2−²a2+...+2a−1=(n−1)an,所以2a1+2²−²a2+.….+2²a。−1=2(n−1)a,　(i)(i)−(i)得2a。=na。+1−2(n−1)aR,即$\frac{an+1}{a}$=2(n≥2),当n=1时,2a=a2,$\frac{a2}{a}$=2,符合上式.所以数列(a)是首项为1,公比为2的等比数列，所以a=a1qn−¹=2°−¹¹.
(2)由
(1)得a=2"−¹,所以b=$\frac{1}{log2an+1.logan+3}$=$\frac{1}{n(n+2)}$=$\frac{1}{2}$$\frac{1}{n}$−$\frac{1}{n+2}$所以T=$\frac{1}{2}$[(1−$\frac{1}{3}$)+($\frac{1}{2}$−$\frac{1}{4}$)+($\frac{1}{3}$−$\frac{1}{5}$+…..+($\frac{1}{n−1}$$\frac{1}{n+1}$)+($\frac{1}{n}$$\frac{1}{n+2}$))=$\frac{1}{2}${$\frac{3}{2}$−$\frac{1}{n+1}$−$\frac{1}{n+2}$)=$\frac{3}{4}$−$\frac{1}{2}$$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2(n+1)(n+2)}$.

15. （社会情境命题）通过测量知道，温度每降低$6\ ^{\circ}C$，某电子元件的电子数目就减少一半. 已知在零下$34\ ^{\circ}C$时，该电子元件的电子数目为3个，则在室温$26\ ^{\circ}C$时，该元件的电子数目接近（ ）
A. 860个
B. 1 730个
C. 3 072个
D. 3 900个

答案： C　由题设知，在温度由低到高变化时，该电子元件的电子数目成等比数列，不妨设为数列{a。),其中首项a1=3,公比q=2.由26−(−34)=60,$\frac{60}{6}$=10,得a11=3×2¹°=3072,故在室温26℃时,该元件的电子数目接近3072个.故选C.

16. （开放题）在正项等比数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=\frac{1}{4}$，且$a_{2}\cdot a_{4}=16$，记数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项的积为$T_{n}$，若$T_{n}\in[1,1 000)$，写出一个满足条件的$n$的值：________.

答案： 3(答案不唯一)解析　设等比数列{a}的公比为q,q＞0,故a2.a4=a².q⁴=16.因为a1=$\frac{1}{4}$,q＞0,所以q=4,所以a=a1.q。−¹=$\frac{1}{4}$×4−¹=4−²,所以T。=4¹−².4²−².....4"−−2=4−¹¹+⁰+++(←|²=44.，T3=4=11，满足要求。