《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第二册》

1.（2023·江苏连云港期末）在等差数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=23$，$d = - 2$，则数列$\{ a_{n}\}$中正数项的个数为（ ）
A. 8
B. 9
C. 12
D. 11

答案： Ca界=a1+(n−1)d=23+(n−1)×(−2)=−2n+25,由a芹=−2n+25＞0,可得n＜12.5,又n∈N.,所以数列{a)中正数项的个数为12.

2. 等比数列$\{ a_{n}\}$中，若$a_{5}=9$，则$\log _{3}a_{4}+\log _{3}a_{6}=$（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 9

答案： 2.C　由题意可知a4a6=a²=81,所以log3a4+log3a6=
　log3a²=1og381=4.

3. 已知甲、乙、丙三人均去某健身场所锻炼，其中甲每隔1天去一次，乙每隔2天去一次，丙每隔3天去一次. 若3月14日三人都去锻炼，则下一次三人都去锻炼的日期是（ ）
A. 3月28日
B. 3月27日
C. 3月26日
D. 3月25日

答案： 3.C　由题意，得三人各自去锻炼的日期是等差数列，公差分别为2,3,4,最小公倍数为12,所以下一次三人都去锻炼的日期是3月26日.故选C.

4. 已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}=\frac{(n + 1)a_{n}}{2}$，且$a_{1}=1$，则$S_{7}=$（ ）
A. 14
B. 28
C. 56
D. 112

答案： 4.B　当n≥2時,S=$\frac{(n+1)a}{2}$→2S用=(n+1)(S−S−1)＞(n+1)S−1=(n−1)S。U$\frac{S.}{S}$=$\frac{n+1}{n−1}$.故S=
　S:.$\frac{S}{S}$.$\frac{S}{S,}$.....$\frac{S}{S}$=1×ī3×$\frac{4}{2}$×.,.×$\frac{7}{5}$×$\frac{8}{6}$=28.故选B.

5. 设等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且满足$a_{1}a_{2}a_{3}=8$，$S_{2024}=4(a_{1}+a_{3}+a_{5}+\cdots +a_{2023})$，则$a_{6}=$（ ）
A. 32
B. 81
C. 162
D. 486

答案： 5.C　因为a1a2a3=8,所以a=8,a2=2,设等比数列{a}的公比为q,当公比q=1时,S2。24=2024×2=4048≠4(a+a3+as+.….+a2o23)=4×1012×2=8096,故q≠1.由S2。24=4(a+a3+as+.….+a2023)可得$\frac{a(1−q²024)}{1−9}$=4.$\frac{a[1−(q²)²012]}{1−q²}$=$\frac{4a(1−q²024)}{(1−q)(1+q)}$,即1=$\frac{4}{1+q}$,q=3,故a6=a2q²=2×3⁴=162.故选C.

6.（多选）已知数列$\{ a_{n}\}$为等差数列，其前$n$项和为$S_{n}$，且$2a_{1}+4a_{3}=S_{7}$，则以下结论正确的有（ ）
A. $a_{14}=0$
B. $S_{14}$最小
C. $S_{11}=S_{16}$
D. $S_{27}=0$

答案： 6.ACD　数列{a}为等差数列，设其公差为d,由于2a1+4a3=S7,即6a+8d=7a1+21d,即a1+13d=a14=0,故A正确;
　当d＜0时,S没有最小值，故B错误;
　因为S16−S=a12+a13+a14+a1s+a1=5a14=0,所以S=S,故C正确;
　S27=$\frac{27(a+a2)}{2}$=27a14=0,故D正确.故选ACD.

7. 在数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=1$，且$a_{n + 1}=\frac{a_{n}}{1 + na_{n}}$，则其通项公式$a_{n}=$（ ）
A. $\frac{1}{n^{2}-n + 1}(n\in\mathbf{N}^{*})$
B. $\frac{1}{n^{2}-n + 2}(n\in\mathbf{N}^{*})$
C. $\frac{2}{n^{2}-n + 1}(n\in\mathbf{N}^{*})$
D. $\frac{2}{n^{2}-n + 2}(n\in\mathbf{N}^{*})$

答案： 7.D
　
∵a+1=$\frac{a,}{1+na}$,
∴an+1(1+na)=a,a。+1+naa+1=a,两边同时除以aα+1(由题意可知a≠0),并整理得$\frac{1}{a}$−$\frac{1}{a}$=n,即$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a,}$=1,$\frac{1}{as}$−$\frac{1}{a}$=2,$\frac{1}{a}$−$\frac{1}{a3}$=3,...,$\frac{1}{a}$−$\frac{1}{an−1}$=n−1(n≥2,n∈N.),将上述(n−1)个式子相加，得$\frac{1}{a}$−$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{a}$−$\frac{1}{a}$+.….+$\frac{1}{a}$−$\frac{1}{a，−1}$=1+2+3+...+(n−1),即$\frac{1}{a}$$\frac{1}{a,}$=
$\frac{n(n−1)}{2}$,
∴$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{a}$　　$\frac{n(n−1)}{2}$=1+$\frac{n(n−1)}{2}$=
　$\frac{n²−n+2}{2}$(n≥2,n∈N.).又当n=1时,$\frac{1}{a}$=1也满足上式，
∴$\frac{1}{a}$=$\frac{n²−n+2}{2}$(n∈N.),
∴a=$\frac{2}{n²−n+2}$(nEN').

8.（多选）已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}=1$，$a_{n + 1}=\lg(10^{a_{n}}+9)+1$，其前$n$项和为$S_{n}$，则下列结论中正确的有（ ）
A. $\{ a_{n}\}$是递增数列
B. $\{ a_{n}+10\}$是等比数列
C. $2a_{n + 1}＞a_{n}+a_{n + 2}$
D. $S_{n}＜\frac{n(n + 3)}{2}$

答案： 8.ACD　　因为a+1=1g(1W+9)+1,所以10°+¹=
　10(10a+9),所以10°~+¹+10=10(10°+10).令b芹=
　10°+10,则b+1=10b。,即{b}是以10为公比的等比数列,又b=20,故b=2×10,所以a=1g(2×10−10)
　是递增数列,A正确,
　因为$\frac{a++10}{a+10}$=$\frac{lg(2×10+−10)+10}{lg(2×10−10)+10}$≠常数，所以{α+10}不是等比数列,B错误.
　因为2a+1=1g(4×10²+²+100−40×10°+¹),a+a。+2=1g[(2×10°−10)(2×10。+²−10)]=1g[4×10²+²+100−20(10”+10"+²)],又10"+10+²＞2$\sqrt{102+2}$=2×10+¹,所以a+an+2＜2a+1,C正确，
　a=lg(2×10"−10)＜1g(2×10m)＜lg(10×10。)=n+1,令c.=n+1,则其前n项和为$\frac{n(n+3)}{2}$,故S＜$\frac{n(n+3)}{2}$,D正确.故选ACD.

9. 数列$\frac{\sqrt{5}}{3}$，$\frac{\sqrt{10}}{8}$，$\frac{\sqrt{17}}{a + b}$，$\frac{\sqrt{a - b}}{24}$，$\cdots$中，有序数对$(a,b)$为_______.

答案： 9.($\frac{41}{2}$,−$\frac{11}{2}$}
　解析　由分子中根号下的数比分母大2，
　可得{aa+−bb==2156,,解得b==$\frac{41}{2}$−$\frac{11}{2}$,.
　　　　　　　　　{
　故有序数对(a,b)为($\frac{41}{2}$,一$\frac{11}{2}$).

10. 已知数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=n^{2}-7n + 6$，则数列$\{ a_{n}\}$从第_______项起各项均为正数.

答案： 10.7
　解析　令a＞0,即n²−7n+6＞0,解得n＞6或n＜1 (舍去),所以数列(a)从第7项起各项均为正数.

11. 某附属中学有四个学院：步青学院、家祯学院、希德学院、望道学院，共474人，这四个学院的学生人数依次为$a_{1}$，$a_{2}$，$a_{3}$，$a_{4}$，若$a_{1}$，$a_{2}$，$a_{3}$构成公差$d$为12的等差数列，$a_{1}$，$a_{3}$，$a_{4}$构成等比数列，则步青学院的人数为_______.

答案： 11.96
　解析　由a1,a2,a3构成公差d为12的等差数列可得a3=a1+2d=a1+24,
　　由a1,a3,a4构成等比数列可得a;=(a1+24)²²=
　aa4①,
　又因为a1+a2+a3+a4=3a1+3d+a4=3a1+36+a4=474②,
　联立①②解得a1=96或$\frac{3}{2}$(舍去).
　故步青学院的人数为96.

12. 试写出一个无穷等比数列$\{ a_{n}\}$，同时满足①$a_{4}=1$；②数列$\{|a_{n}|\}$为递减数列；③数列$\{ a_{n}\}$不具有单调性，则当$n\in\mathbf{N}^{*}$时，$a_{n}=$_______.

答案： 12.(−2)⁴−"(答案不唯一)
　解析　设a=a1.qn−¹,由a4=1得,a1.q²=1,
　
∵数列(α}不具有单调性,
∴q＜o,
　又
∵数列{|a1}为递减数列,故{g|＜1,
　综上,−1＜q＜0,不妨取q=−$\frac{1}{2}$,
　则a=−8,a=(−2)²−".
　经检验符合题意.

13. 已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}=1$，$a_{n + 1}=2a_{n}+1$，$n\in\mathbf{N}^{*}$，令$b_{n}=a_{n}+1$.
（1）证明：数列$\{ b_{n}\}$是等比数列；
（2）求数列_______的前$n$项和$S_{n}$，从条件①$\{ b_{n}+\log_{2}b_{n}\}$；②$\{\frac{1}{\log_{2}b_{n}\cdot\log_{2}b_{n + 1}}\}$；③$\{nb_{n}\}$中任选一个，补充在横线中，并解答.

答案： 13.解　
(1)证明:由条件a+1=2am+1,n∈N',得a+1+1=2(a。+1),
　因为a1+1=2≠0,
　所以$\frac{an+1+1}{a+1}$=2,n∈N.,即$\frac{b+1}{6}$=2,n∈N',
　所以数列(b)是以2为首项,2为公比的等比数列,
(2)由
(1)知,数列{b}的通项公式为b芹=2.2°−¹=2”,nEN'.
　若选①:bm+1og2b=2"+n,
　则S=(2¹+1)+(2²+2)+(2²+3)+.….+(2"+n)=
　(2¹+2²+.….+2")+(1+2+.….+n)=$\frac{2(1−2")}{1−2}$+$\frac{n(n+1)}{2}$=2界+¹+$\frac{n²+n−4}{2}$
　若选②:$\frac{1}{logb.logbn+1}$=$\frac{1}{n(n+1)}$$\frac{1}{n}$$\frac{1}{n+1}$,
　则S=(1−$\frac{1}{2}$)+($\frac{1}{2}$$\frac{1}{3}$)+($\frac{1}{3}$−$\frac{1}{4}$)+.….+$\frac{1}{n}$−$\frac{1}{n+1}$)=1−$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$
　若选③:nb。=n.2”,
　则S=1×2²+2×2²+...+n×2,
　2S=1×2²+2×2²+...+(n−1)×2"+n×2+¹,
　两式相减得,S=−(2+2²+...+2")+n.2月+¹
　=2(1−2")+n.2°+¹=(n−1)2°+¹+2.