《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第二册》

10.（2023·江苏启东中学月考）某地本年度旅游业收入估计为400万元，由于该地出台了一系列措施，进一步发展旅游业，预计今后每年旅游业的收入会比上一年增加$\frac{1}{4}$.
（1）求n年内旅游业的总收入；
（2）试估计几年后，旅游业的总收入超过8 000万元.
（注：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 5≈0.699 0）

答案： 解　
(1)设第n年的旅游业收入估计为aₙ万元，数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，则a₁=400,aₙ₊₁=(1 + $\frac{1}{4}$)aₙ.
∵a₁≠0,
∴$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$=$\frac{5}{4}$,
∴数列{aₙ}是首项为400,公比为$\frac{5}{4}$的等比数列，
∴Sₙ=$\frac{400[1 - (\frac{5}{4})^{n}]}{1 - \frac{5}{4}}$=1600[($\frac{5}{4}$)ⁿ−1]，即n年内旅游业的总收入为1600[($\frac{5}{4}$)ⁿ−1]万元.
(2)由
(1)知Sₙ=1600[($\frac{5}{4}$)ⁿ−1]，令Sₙ＞8000,即1600[($\frac{5}{4}$)ⁿ−1]＞8000,
∴($\frac{5}{4}$)ⁿ＞6,
∴lg($\frac{5}{4}$)ⁿ＞lg6,
∴n＞$\frac{lg6}{lg\frac{5}{4}}$=$\frac{lg2 + lg3}{lg5 - 2lg2}$≈8.0216,又
∵n∈N*,
∴大约9年后，旅游业的总收入超过8000万元.

11.已知数列{aₙ}满足a₁ = 1，当n为奇数时，aₙ₊₁ = aₙ，当n为偶数时，aₙ₊₁ = aₙ + 2ⁿ，则当n≥2时，a₂ₙ₋₁ = （ ）
A. $\frac{4^{n + 1}-4}{3}$
B. $\frac{4^{n + 2}-4}{3}$
C. $\frac{4^{n}-1}{3}$
D. $\frac{4^{n + 1}-1}{3}$

答案： C　由当n为奇数时,aₙ₊₁=aₙ,当n为偶数时,aₙ₊₁=aₙ + 2ⁿ,可得当k∈N*时a₂ₖ=a₂ₖ₋₁,a₂ₖ₊₁=a₂ₖ + 4ᵏ,两式相减得a₂ₖ₊₁−a₂ₖ₋₁=4ᵏ,所以当n≥2时,a₂ₙ₋₁=a₁+(a₃−a₁)+(a₅−a₃)+.….+(a₂ₙ₋₁−a₂ₙ₋₃)=1+4+4²+...+4ⁿ⁻¹=$\frac{1 - 4^{n}}{1 - 4}$=$\frac{4^{n}−1}{3}$.故选C.

12.若数列{aₙ}满足a₁a₂a₃…aₙ = 2ⁿ²（n∈N*），且对于任意n∈N*都有$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}＜t$，则t的取值范围为 （ ）
A. $(\frac{1}{3},+\infty)$
B. $[\frac{1}{3},+\infty)$
C. $(\frac{2}{3},+\infty)$
D. $[\frac{2}{3},+\infty)$

答案： D　因为数列{aₙ}满足a₁a₂a₃...aₙ=2ⁿ²(n∈N*),所以当n≥2时,a₁a₂a₃...aₙ₋₁=2⁽ⁿ⁻¹⁾²,可得aₙ=2²ⁿ⁻¹(n≥2).又当n=1时,a₁=2也符合上式,所以aₙ=2²ⁿ⁻¹(n∈N*),所以$\frac{1}{a_{n}}$=$\frac{1}{2^{2n - 1}}$,所以数列{$\frac{1}{a_{n}}$}是首项为$\frac{1}{2}$,公比为$\frac{1}{4}$的等比数列，所以$\frac{1}{a_{1}}$+$\frac{1}{a_{2}}$+.….+$\frac{1}{a_{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}×(1 - \frac{1}{4^{n}})}{1 - \frac{1}{4}}$=$\frac{2}{3}$×(1 - $\frac{1}{4^{n}}$)＜$\frac{2}{3}$.因为对于任意n∈N*都有$\frac{1}{a_{1}}$+$\frac{1}{a_{2}}$+...+$\frac{1}{a_{n}}$＜t,所以t的取值范围为[$\frac{2}{3}$,+∞).

13.对于数列{aₙ}，定义数列{aₙ₊₁ - aₙ}为数列{aₙ}的“差数列”.若a₁ = 2，数列{aₙ}的“差数列”的通项公式为aₙ₊₁ - aₙ = 2ⁿ，则数列{aₙ}的前n项和Sₙ = ________.

答案： 2ⁿ⁺¹−2
解析
∵aₙ₊₁−aₙ=2ⁿ,
∴当n≥2时,aₙ=(aₙ−aₙ₋₁)+(aₙ₋₁−aₙ₋₂)+,….+(a₂−a₁)+a₁=2ⁿ⁻¹+2ⁿ⁻²+...+2²+2+2=$\frac{2 - 2^{n}}{1 - 2}$+2=2ⁿ−2+2=2ⁿ.当n=1时,a₁=2也满足上式,
∴aₙ=2ⁿ,
∴Sₙ=$\frac{2 - 2^{n + 1}}{1 - 2}$=2ⁿ⁺¹−2.

14.已知数列{aₙ}中，a₁ = 1，aₙaₙ₊₁ = ($\frac{1}{2}$)ⁿ.
（1）求证：数列{a₂ₙ}与{a₂ₙ₋₁}都是等比数列；
（2）若数列{aₙ}的前2n项和为T₂ₙ，令bₙ = (3 - T₂ₙ)n(n + 1)，求数列{bₙ}的最大项.

答案： 解　
(1)证明:数列{aₙ}中,a₁=1,aₙaₙ₊₁=($\frac{1}{2}$)ⁿ，
∴aₙ₊₁aₙ₊₂=($\frac{1}{2}$)ⁿ⁺¹，
∴$\frac{a_{n + 2}}{a_{n}}$=$\frac{1}{2}$，
∵a₁=1,
∴a₂=$\frac{1}{2}$，故数列{a₂ₙ₋₁}是以1为首项,$\frac{1}{2}$为公比的等比数列；数列{a₂ₙ}是以$\frac{1}{2}$为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列.
(2)由
(1)得T₂ₙ=(a₁+a₃+.….+a₂ₙ₋₁)+(a₂+a₄+...+a₂ₙ)=$\frac{1×(1 - \frac{1}{2^{n}})}{1 - \frac{1}{2}}$+$\frac{\frac{1}{2}×(1 - \frac{1}{2^{n}})}{1 - \frac{1}{2}}$=3 - $\frac{3}{2^{n}}$，
∴bₙ=(3 - T₂ₙ)n(n + 1)=3n(n + 1)($\frac{1}{2}$)ⁿ，
∴bₙ₊₁−bₙ=3(n + 1)($\frac{1}{2}$)ⁿ⁺¹($\frac{n + 2}{2}$−n)=3(n + 1)($\frac{1}{2}$)ⁿ⁺¹(2 - n)，
∴b₃=b₂＞b₁，且b₃＞b₄＞b₅＞...，故数列{bₙ}的最大项是b₂=b₃=$\frac{9}{2}$

15.（文化情境命题）我国古代数学著作《九章算术》中记载一问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问几何日相逢？各穿几何？意思是：今有土墙厚五尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天也打洞一尺，大鼠之后每天打洞厚度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞厚度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？此时，各打洞多少？该问题中两鼠相逢需要的天数最小为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

答案： B　设大鼠、小鼠每天所打洞的厚度分别构成数列{aₙ},{bₙ}，它们的前n项和分别为Aₙ,Bₙ，则{aₙ}是以1为首项,2为公比的等比数列,{bₙ}是以1为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，故Aₙ=$\frac{1×(1 - 2^{n})}{1 - 2}$=2ⁿ−1,Bₙ=$\frac{1×[1 - (\frac{1}{2})^{n}]}{1 - \frac{1}{2}}$=2 - ($\frac{1}{2}$)ⁿ⁻¹，令Aₙ+Bₙ≥5,即2ⁿ−1+2 - ($\frac{1}{2}$)ⁿ⁻¹≥5,又n∈N*，解得n≥3,故选B.

16.（数学运算）设等比数列{aₙ}的各项均为正数，公比为q，前n项和为Sₙ.若对任意的n∈N*，有S₂ₙ ＜ 3Sₙ，则q的取值范围是________.

答案： (0,1]
解析　由题意知q＞0.
①若q=1,则S₂ₙ=2na₁,3Sₙ=3na₁,所以S₂ₙ＜3Sₙ,所以q=1符合要求.
②若q≠1,则由S₂ₙ＜3Sₙ,得$\frac{a_{1}(1 - q^{2n})}{1 - q}$＜$\frac{3a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}$.当q＞1时,可得q²ⁿ−3qⁿ+2＜0,即(qⁿ−1)(qⁿ−2)＜0,即1＜qⁿ＜2,显然当q＞1时该式不可能对任意的n∈N*都成立，所以q＞1不符合要求;当0＜q＜1时,可得(qⁿ−1)(qⁿ−2)＞0,该式对任意的n∈N*恒成立,所以0＜q＜1符合要求.
综合①②,可得q的取值范围是(0,1].