《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第二册》

1. 数列$\frac{2}{3},\frac{4}{5},\frac{6}{7},\frac{8}{9},\cdots$的一个通项公式为（ ）
A. $a_{n}=\frac{n - 1}{n + 1}$
B. $a_{n}=\frac{n - 1}{2n + 1}$
C. $a_{n}=\frac{2(n - 1)}{2n - 1}$
D. $a_{n}=\frac{2n}{2n + 1}$

答案： 1.D　根据题意，得$a_1=\frac{2×1}{2×1+1}=\frac{2}{3}$，$a_2=\frac{2×2}{2×2+1}=\frac{4}{5}$，$a_3=\frac{2×3}{2×3+1}=\frac{6}{7}$，$a_4=\frac{2×4}{2×4+1}=\frac{8}{9}$，依此类推，则$a_n=\frac{2n}{2n+1}$.

2. 在数列$\{a_{n}\}$中，$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = 1 + \frac{n}{a_{n}}$. 若$a_{n}=46,a_{1}=1$，则$n$的值为（ ）
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12

答案： 2.B　由$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = 1 + \frac{n}{a_{n}}$，得$a_{n + 1}-a_{n}=n$，所以$a_2 - a_1 = 1$，$a_3 - a_2 = 2$，$\cdots$，$a_n - a_{n - 1} = n - 1(n\geq2)$，所以$a_n - a_1 = 1 + 2 + \cdots + (n - 1)$，又$a_1 = 1$，所以$a_n = \frac{n(n - 1)}{2} + 1 (n\geq2)$，又当$n = 1$时，$a_1 = 1$也满足该式，所以$a_n = \frac{n(n - 1)}{2} + 1$. 由$a_n = 46$，解得$n = 10$（负值舍去）. 故选B.

3. 等比数列$\{a_{n}\}$共有$2n + 1$项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则$a_{n + 1}=$（ ）
A. $\frac{6}{5}$
B. $\frac{5}{6}$
C. 20
D. 110

答案： 3.B　由题意知$S_{奇}=a_1a_3\cdots a_{2n + 1}=100$，$S_{偶}=a_2a_4\cdots a_{2n}=120$，$\therefore\frac{S_{奇}}{S_{偶}}=\frac{a_1a_3\cdots a_{2n + 1}}{a_2a_4\cdots a_{2n}}=\frac{a_1\cdot q^n}{1}=a_{n + 1}$，$\therefore a_{n + 1}=\frac{100}{120}=\frac{5}{6}$.

4. 下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第$n$个图形中小正方形的个数是（ ）

A. $n(n + 1)$
B. $\frac{n(n - 1)}{2}$
C. $\frac{n(n + 1)}{2}$
D. $n(n - 1)$

答案： 4.C　$\because a_1 = 1$，$a_2 = 3 = 1 + 2$，$a_3 = 6 = 1 + 2 + 3$，$a_4 = 10 = 1 + 2 + 3 + 4$，$\therefore a_2 - a_1 = 2$，$a_3 - a_2 = 3$，$a_4 - a_3 = 4$，$\cdots$，$a_n - a_{n - 1} = n$，等式两边同时累加得$a_n - a_1 = 2 + 3 + \cdots + n$，即$a_n = 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$，$n\geq2$，$a_1 = 1$也符合该式，所以$a_n = \frac{n(n + 1)}{2}$，所以第$n$个图形中小正方形的个数是$\frac{n(n + 1)}{2}$. 故选C.

5. 已知数列$\{a_{n}\}$满足：$a_{1}=a_{2}=2,a_{n}=3a_{n - 1}+4a_{n - 2}(n\geq3)$，则$a_{9}+a_{10}=$（ ）
A. $4^{7}$
B. $4^{8}$
C. $4^{9}$
D. $4^{10}$

答案： 5.C　由题意得$a_1 + a_2 = 4$，由$a_n = 3a_{n - 1} + 4a_{n - 2}(n\geq3)$得$a_n + a_{n - 1} = 4(a_{n - 1} + a_{n - 2})$，即$\frac{a_n + a_{n - 1}}{a_{n - 1} + a_{n - 2}} = 4(n\geq3)$，所以数列$\{a_n + a_{n + 1}\}$是等比数列，公比为$4$，首项为$4$，所以$a_n + a_{n + 1} = 4^n$，故$a_9 + a_{10} = 4^9$. 故选C.

6.（多选）数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n},a_{1}=1,a_{n + 1}=2S_{n}(n\in N^{*})$，则有（ ）
A. $S_{n}=3^{n - 1}$
B. $\{S_{n}\}$为等比数列
C. $a_{n}=2\cdot3^{n - 1}$
D. $a_{n}=\begin{cases}1,n = 1,\\2\cdot3^{n - 2},n\geq2\end{cases}$

答案： 6.ABD　依题意$a_1 = 1$，$a_{n + 1} = 2S_n(n\in N^*)$，当$n = 1$时，$a_2 = 2a_1 = 2$，当$n\geq2$时，$a_n = 2S_{n - 1}$，$a_{n + 1} - a_n = 2S_n - 2S_{n - 1} = 2a_n$，所以$a_{n + 1} = 3a_n$，所以$a_n = a_2\cdot3^{n - 2} = 2\cdot3^{n - 2}(n\geq2)$，当$n = 1$时，$a_1 = 1$不符合上式，所以$a_n = \begin{cases}1,n = 1\\2\cdot3^{n - 2},n\geq2\end{cases}$；当$n\geq2$时，$S_n = \frac{a_{n + 1}}{2} = 3^{n - 1}$；当$n = 1$时，$S_1 = a_1 = 1$也符合上式，所以$S_n = 3^{n - 1}$. 因为$\frac{S_{n + 1}}{S_n} = 3$，所以数列$\{S_n\}$是首项为$1$，公比为$3$的等比数列. 故选ABD.

7. 记$S_{n}$为递增的等比数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和，若$S_{1}=1,S_{4}=5S_{2}$，则$a_{n}=$_______.

答案： 7.$2^{n - 1}$
解析　$\because S_n$为递增的等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和，$S_1 = 1$，$a_1 = S_1 = 1$，$S_4 = 5S_2$，$\therefore\begin{cases}\frac{a_1(1 - q^4)}{1 - q}=5\times\frac{a_1(1 - q^2)}{1 - q}\\q\gt1\end{cases}$，解得$\begin{cases}q = 2\\a_1 = 1\end{cases}$，$\therefore a_n = 2^{n - 1}$.

8. 已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}=3^{n}+2n + 1$，则$a_{n}=$__________.

答案： 8.$\begin{cases}6,n = 1\\2\cdot3^{n - 1} + 2,n\geq2\end{cases}$
解析　由题可得，当$n = 1$时，$a_1 = S_1 = 6$；当$n\geq2$时，$a_n = S_n - S_{n - 1} = (3^n + 2n + 1) - [3^{n - 1} + 2(n - 1) + 1] = 2\cdot3^{n - 1} + 2$. 由于$a_1 = 6$不符合此式，故$a_n = \begin{cases}6,n = 1\\2\cdot3^{n - 1} + 2,n\geq2\end{cases}$.

9. 若数列$\{a_{n}\}$和$\{b_{n}\}$满足$a_{1}=\frac{1}{4},\log_{\frac{1}{4}}a_{n + 1}=\log_{\frac{1}{4}}a_{n}+1,b_{1}=1,2^{b_{n + 1}}-2^{b_{n}}+3 = 0$，求数列$\{a_{n}\},\{b_{n}\}$的通项公式.

答案： 9.解　因为$\log_{\frac{1}{4}}a_{n + 1}=\log_{\frac{1}{4}}a_{n}+1$，即$\log_{\frac{1}{4}}\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = 1 = \log_{\frac{1}{4}}\frac{1}{4}$，所以$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{1}{4}$，又因为$a_1 = \frac{1}{4}$，所以数列$\{a_n\}$是以$\frac{1}{4}$为首项，$\frac{1}{4}$为公比的等比数列，所以$a_n = \frac{1}{4}\cdot(\frac{1}{4})^{n - 1} = \frac{1}{4^n}$. 因为$2^{b_{n + 1}} - 2^{b_{n}} + 3 = 0$，即$2^{b_{n + 1}} = 2^{b_{n}} - 3$，所以$b_{n + 1} = b_{n} + 3$，所以$b_{n + 1} - b_{n} = 3$. 又因为$b_1 = 1$，所以数列$\{b_n\}$是以$1$为首项，$3$为公差的等差数列，所以$b_n = 1 + 3(n - 1) = 3n - 2$.