《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第二册》

14. 设关于$x$的一元二次方程$a_{n}x^{2}-a_{n + 1}x + 1 = 0(n\in \mathbf{N}^{*})$有两根$\alpha$和$\beta$，且满足$6\alpha - 2\alpha\beta + 6\beta = 3$，$a_{1}=\frac{7}{6}$.
（1）试用$a_{n}$表示$a_{n + 1}$；
（2）求证：数列$\{ a_{n}-\frac{2}{3}\}$是等比数列.

答案： 解　
(1)由根与系数的关系，知$\begin{cases}\alpha + \beta = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}\\\alpha\beta = \frac{1}{a_{n}}\end{cases}$
代入$6\alpha - 2\alpha\beta + 6\beta = 3$，得$\frac{6a_{n + 1}}{a_{n}} - \frac{2}{a_{n}} = 3$，
所以$a_{n + 1}=\frac{1}{2}a_{n}+\frac{1}{3}$。
(2)证明：因为$a_{n + 1}=\frac{1}{2}a_{n}+\frac{1}{3}$，
所以$a_{n + 1}-\frac{2}{3}=\frac{1}{2}(a_{n}-\frac{2}{3})$，
又$a_{1}-\frac{2}{3}=\frac{1}{2}\neq0$，所以$a_{n}-\frac{2}{3}\neq0$，
所以数列$\{ a_{n}-\frac{2}{3}\}$是首项为$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列。

15. （2023·河北张家口一中检测）已知数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=1$，$a_{n + 1}=3a_{n}+1(n\in \mathbf{N}^{*})$.
（1）证明数列$\{ a_{n}+\frac{1}{2}\}$是等比数列，并求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式；
（2）若数列$\{ b_{n}\}$的通项公式为$b_{n}=\frac{n\cdot(3^{n}-1)}{2^{n}}(n\in \mathbf{N}^{*})$，数列$\{ c_{n}\}$满足$c_{n}=\frac{b_{n}}{a_{n}}(n\in \mathbf{N}^{*})$，求数列$\{ c_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}$.

答案： 解　
(1)因为$a_{n + 1}=3a_{n}+1(n\in N^{*})$，所以$a_{n + 1}+\frac{1}{2}=3(a_{n}+\frac{1}{2})$，所以$\frac{a_{n + 1}+\frac{1}{2}}{a_{n}+\frac{1}{2}} = 3$，且$a_{1}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$
所以数列$\{ a_{n}+\frac{1}{2}\}$是以$\frac{3}{2}$为首项，$3$为公比的等比数列，因此$a_{n}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\times3^{n - 1}=\frac{3^{n}}{2}$，从而$a_{n}=\frac{3^{n}-1}{2}(n\in N^{*})$。
(2)由
(1)得$c_{n}=\frac{b_{n}}{a_{n}}=\frac{\frac{n\cdot(3^{n}-1)}{2^{n}}}{\frac{3^{n}-1}{2}}=\frac{n}{2^{n - 1}}(n\in N^{*})$，
所以$T_{n}=1\times\frac{1}{2^{0}}+2\times\frac{1}{2^{1}}+3\times\frac{1}{2^{2}}+\cdots +n\times\frac{1}{2^{n - 1}}$①，所以$\frac{1}{2}T_{n}=1\times\frac{1}{2^{1}}+2\times\frac{1}{2^{2}}+3\times\frac{1}{2^{3}}+\cdots +n\times\frac{1}{2^{n}}$②，① - ②得$\frac{1}{2}T_{n}=1\times\frac{1}{2^{0}}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots +\frac{1}{2^{n - 1}}-n\times\frac{1}{2^{n}}=2-\frac{n + 2}{2^{n}}$，
所以$T_{n}=4-\frac{n + 2}{2^{n - 1}}$。