《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第二册》

10. 已知函数$f(x)=ax^{2}+1(a\gt 0)$，$g(x)=x^{3}+bx$，若曲线$y = f(x)$与曲线$y = g(x)$在它们的交点$(1,c)$处具有公共切线，求$a$，$b$的值.

答案： 解　$\because f'(x)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{a(x+\Delta x)^2+1-(ax^2+1)}{\Delta x}=2ax$, $\therefore f'(1)=2a$, 即切线斜率 $k_1 = 2a$.
$\because g'(x)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x)^3+b(x+\Delta x)-(x^3+bx)}{\Delta x}=3x^2 + b$, $\therefore g'(1)=3 + b$, 即切线斜率 $k_2=3 + b$.
$\because$ 在交点 $(1,c)$ 处有公共切线, $\therefore 2a=3 + b$.
又 $a + 1=1 + b$, 即 $a = b$, 故可得 $\begin{cases}a = 3\\b = 3\end{cases}$.

11. 已知曲线$y = f(x)=\frac{1}{2}x^{2}+x$的一条切线的斜率是$3$，则该切点的横坐标为 （ ）
A. -2
B. -1
C. 1
D. 2

答案： D　$\because\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=\frac{1}{2}(x+\Delta x)^2+(x+\Delta x)-\frac{1}{2}x^2 - x=x\Delta x+\frac{1}{2}(\Delta x)^2+\Delta x$, $\therefore\frac{\Delta y}{\Delta x}=x+\frac{1}{2}\Delta x + 1$, $\therefore f'(x)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=x + 1$. 设切点坐标为 $(x_0,y_0)$, 则 $f'(x_0)=x_0 + 1 = 3$, $\therefore x_0=2$.

12.（多选）已知曲线$f(x)=x^{3}-3x^{2}+1$在点$P$处的切线平行于直线$y = 9x - 1$，则此切线的方程可能为 （ ）
A. $y = 9x + 6$
B. $y = 9x - 26$
C. $y = 9x + 26$
D. $y = 9x - 6$

答案： AB　设 $P(x_0,y_0)$,$f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}[(\Delta x)^2+3x_0\Delta x-3\Delta x+3x_0^2-6x_0]=3x_0^2-6x_0$, 令 $3x_0^2-6x_0 = 9$, 解得 $x_0 = 3$ 或 $x_0=-1$, $\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(3,1)$ 或 $(-1,-3)$. $\because$ 切线斜率为 9, $\therefore$ 切线方程为 $y = 9x - 26$ 或 $y = 9x + 6$. 故选 AB.

13. 已知函数$f(x)=ax^{2}+bx + 1(a\neq 0)$的导函数为$f^{\prime}(x)$，且$f^{\prime}(0)\gt 0$，函数$f(x)$的图象与$x$轴恰有一个交点，则$\frac{f(1)}{f^{\prime}(0)}$的最小值为_______.

答案： 2
解析　由题意可得 $\frac{f(\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\frac{[a(\Delta x)^2+b\Delta x + 1]-1}{\Delta x}=a\Delta x + b$, 当 $\Delta x\to0$ 时, $a\Delta x + b\to b＞0$. 又由函数 $f(x)$ 的图象与 $x$ 轴恰有一个交点, 得 $\Delta=b^2 - 4a = 0$, 则 $a=\frac{b^2}{4}$, 所以 $\frac{f(1)}{f'(0)}=\frac{a + b + 1}{b}=\frac{\frac{b}{4}+\frac{1}{b}+1\geq2\sqrt{\frac{b}{4}\cdot\frac{1}{b}}+1 = 2$, 当且仅当 $b = 2$ 时取等号, 所以 $\frac{f(1)}{f'(0)}$ 的最小值为 2.

14. 已知曲线$f(x)=-\frac{1}{3}x^{3}+2x^{2}-3x + 1$.
(1)求该曲线的斜率为$-3$的切线方程；
(2)当曲线的切线斜率最大时，切点为$P$，过点$P$作直线$l$，分别与$x$轴的正半轴、$y$轴的正半轴交于$A$，$B$两点，$O$为坐标原点，求$\triangle AOB$面积的最小值.

答案： 解　
(1) $f'(x)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=-x^2 + 4x - 3$.
由 $-x^2 + 4x - 3=-3$, 解得 $x = 0$ 或 $x = 4$.
又 $f(0)=1,f(4)=-\frac{1}{3}$, 所以所求切线方程为 $y - 1=-3x$ 或 $y+\frac{1}{3}=-3(x - 4)$, 即 $3x + y - 1 = 0$ 或 $9x + 3y - 35 = 0$.
(2) 由
(1) 知 $f'(x)=-x^2 + 4x - 3=-(x - 2)^2+1\leq1$, 所以当 $x = 2$ 时, 切线的斜率取得最大值 1, 此时点 $P$ 的坐标为 $(2,\frac{1}{3})$.
由题意, 设 $A(a,0),B(0,b)(a＞0,b＞0)$, 则直线 $l$ 的方程为 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1(a＞0,b＞0)$, 所以 $\frac{2}{a}+\frac{1}{3b}=1$.
$S_{\triangle OAB}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ab(\frac{2}{a}+\frac{1}{3b})^2=\frac{2b}{a}+\frac{a}{18b}+\frac{2}{3}\geq2\sqrt{\frac{2b}{a}\cdot\frac{a}{18b}}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$, 当且仅当 $\frac{2b}{a}=\frac{a}{18b}$, 即 $a = 6b$ 时取 “ $=$ ”.
所以 $\triangle AOB$ 面积的最小值为 $\frac{4}{3}$.

15.（逻辑推理）（2024·唐山一中月考）设函数$f(x)$是$\mathbf{R}$上以$5$为周期的可导偶函数，则曲线$y = f(x)$在$x = 5$处的切线的斜率为 （ ）
A. $-\frac{1}{5}$
B. 0
C. $\frac{1}{5}$
D. 5

答案： B　根据导数的定义, 得曲线 $y = f(x)$ 在 $x = 5$ 处的切线的斜率为 $k=f'(5)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(5+\Delta x)-f(5)}{\Delta x}$.
因为函数 $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上以 5 为周期的可导函数, 所以 $f(5+\Delta x)=f(\Delta x),f(5)=f(0)$, 所以 $k=f'(5)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(5+\Delta x)-f(5)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=f'(0)$.
因为 $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的偶函数, 所以必有 $f'(0)=0$, 故曲线 $y = f(x)$ 在 $x = 5$ 处的切线的斜率为 0.

16.（逻辑推理）若抛物线$y = 2x^{2}+1$与直线$4x - y + m = 0$相切，则$m =$________.

答案： $-1$
解析　设切点为 $P(x_0,y_0)$, 则 $\Delta y=2(x_0+\Delta x)^2+1-2x_0^2-1=4x_0\cdot\Delta x+2(\Delta x)^2$, 所以 $\frac{\Delta y}{\Delta x}=4x_0+2\Delta x$.
当 $\Delta x\to0$ 时, $\frac{\Delta y}{\Delta x}\to4x_0$, 即 $f'(x_0)=4x_0$, 令 $4x_0 = 4$, 得 $x_0 = 1$, 则 $y_0 = 3$, 将 $(1,3)$ 代入直线 $4x - y + m = 0$, 得 $m=-1$.