《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第二册》

1. 下列各组数成等比数列的是 （ ）
①1，－2，4，－8；②$-\sqrt{2}$，2，$-2\sqrt{2}$，4；③$x$，$x^{2}$，$x^{3}$，$x^{4}$；④$a^{-1}$，$a^{-2}$，$a^{-3}$，$a^{-4}$.
A. ①②
B. ①②③
C. ①②④
D. ①②③④

答案： C 由等比数列的定义，知①②④是等比数列；③中当$x = 0$时，不是等比数列。

2.（2024·河北石家庄一中月考）等比数列$\{a_{n}\}$中，若$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=3(a_{1}+a_{3})$，则公比为 （ ）
A. 1
B. －2
C. 2
D. 2或－2

答案： C 设等比数列$\{a_{n}\}$的公比为$q$，因为$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=3(a_{1}+a_{3})$，所以$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=(a_{1}+a_{3})+q(a_{1}+a_{3})=3(a_{1}+a_{3})$，即$1 + q = 3$，解得$q = 2$。故选C。

3.（2023·唐山期末）已知3为$a$，$b$的等差中项，2为$a$，$b$的等比中项，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=$ （ ）
A. $\frac{3}{2}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
C. 1
D. 2

答案： A 由题可得$a + b = 2\times3 = 6$，$ab = 2^{2}=4$，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a + b}{ab}=\frac{3}{2}$。

4. 在等比数列$\{a_{n}\}$中，已知$a_{1}＞0$，$8a_{2}-a_{5}=0$，则数列$\{a_{n}\}$为 （ ）
A. 递增数列
B. 递减数列
C. 常数列
D. 无法确定单调性

答案： A 由$8a_{2}-a_{5}=0$，可知$\frac{a_{5}}{a_{2}}=q^{3}=8$，解得$q = 2$。又$a_{1}＞0$，所以数列$\{a_{n}\}$为递增数列。

5. 已知$a$，$b$，$c$均为正数，若$a + b + c$，$b + c - a$，$c + a - b$，$a + b - c$成等比数列，且公比为$q$，则$q^{3}+q^{2}+q$的值为 （ ）
A. 0
B. 1
C. 3
D. 不确定

答案： B 依题意，有$q^{3}+q^{2}+q=\frac{a + b - c}{a + b + c}+\frac{c + a - b}{a + b + c}+\frac{b + c - a}{a + b + c}=1$。故选B。

6. 若数列$\{a_{n}\}$是公比为$\sqrt{2}$的正项等比数列，则$\{\sqrt{a_{2n - 1}\cdot a_{2n}}\}$是 （ ）
A. 公比为$2\sqrt{2}$的等比数列
B. 公比为$\sqrt{2}$的等比数列
C. 公差为$2\sqrt{2}$的等差数列
D. 公差为$\sqrt{2}$的等差数列

答案： A 因为数列$\{a_{n}\}$是公比为$\sqrt{2}$的正项等比数列，所以$\frac{a_{n}}{a_{n - 1}}=\sqrt{2}(n\geq2)$，设$b_{n}=\sqrt{a_{2n - 1}\cdot a_{2n}}$，则$\frac{b_{n}}{b_{n - 1}}=\frac{\sqrt{a_{2n - 1}\cdot a_{2n}}}{\sqrt{a_{2n - 3}\cdot a_{2n - 2}}}=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}}\cdot\sqrt{(\sqrt{2})^{2}}=2\sqrt{2}(n\geq2)$，即$\{\sqrt{a_{2n - 1}\cdot a_{2n}}\}$是公比为$2\sqrt{2}$的等比数列。

7. 已知等比数列$\{a_{n}\}$的前3项依次为$a - 1$，$a + 1$，$a + 4$，则$a =$_______，$a_{n}=$__________.

答案： $5$ $4\times(\frac{3}{2})^{n - 1}$
解析 由题意，知$(a + 1)^{2}=(a - 1)(a + 4)$，解得$a = 5$，所以$\frac{a + 1}{a - 1}=\frac{5 + 1}{5 - 1}=\frac{3}{2}$。又$a - 1 = 4$，所以数列$\{a_{n}\}$是首项为$4$，公比为$\frac{3}{2}$的等比数列，所以$a_{n}=4\times(\frac{3}{2})^{n - 1}$。

8. 已知$a$，1，$b$成等差数列，$a^{2}$，1，$b^{2}$成等比数列，则$\frac{a + b}{a^{2}+b^{2}}=$________.

答案： $1$或$\frac{1}{3}$
解析 因为$a$，$1$，$b$成等差数列，所以$a + b = 2$。又因为$a^{2}$，$1$，$b^{2}$成等比数列，所以$a^{2}b^{2}=1$，所以$ab=\pm1$，$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab = 6$或$2$，所以$\frac{a + b}{a^{2}+b^{2}}=1$或$\frac{a + b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{1}{3}$。

9. 已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，$S_{n}=\frac{1}{3}(a_{n}-1)$（$n\in\mathbf{N}^{*}$）.
（1）求$a_{1}$，$a_{2}$；
（2）求证：数列$\{a_{n}\}$是等比数列.

答案： 解 （1）由$S_{1}=\frac{1}{3}(a_{1}-1)$，得$a_{1}=\frac{1}{3}(a_{1}-1)$，故$a_{1}=-\frac{1}{2}$。
由$S_{2}=\frac{1}{3}(a_{2}-1)$，即$a_{1}+a_{2}=\frac{1}{3}(a_{2}-1)$，得$a_{2}=\frac{1}{4}$。
（2）证明：当$n\geq2$时，$a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}=\frac{1}{3}(a_{n}-1)-\frac{1}{3}(a_{n - 1}-1)$，得$\frac{a_{n}}{a_{n - 1}}=-\frac{1}{2}$，
又$a_{1}=-\frac{1}{2}$，
所以数列$\{a_{n}\}$是首项为$-\frac{1}{2}$，公比为$-\frac{1}{2}$的等比数列。