《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第二册》

1. 下列关于函数$y=(x^{2}-1)^{n}$的复合过程与导数运算正确的是（ ）
A. $y=(u - 1)^{n},u = x^{2},y' = 2nx(u - 1)^{n}$
B. $y = t^{n},t = (x - 1)^{n},y' = 2nx(t - 1)^{n - 1}$
C. $y = u^{n},u = x^{2}-1,y' = 2nx(x^{2}-1)^{n - 1}$
D. $y = u^{n},u = x^{2}-1,y' = n(x^{2}-1)^{n - 1}$

答案： 5.2.3　简单复合函数的导数
1.C　由复合函数求导法则,知函数y=(x²−1)”由基本初等函数y=u”,u=x²−1复合而成,所以y'=y。.u²=nu−¹.2x=2nx(x²−1)−¹.故选C.

2. 函数$f(x)=e^{x - 1}$的图象在$x = 0$处的切线斜率为（ ）
A. 1
B. e
C. $\frac{1}{e}$
D. $\frac{\pi}{4}$

答案： 2.Cf′(x)=e²−¹,故f'
(0)=e−²=$\frac{1}{e}$,故切线斜率为$\frac{1}{e}$.故选C.

3. 已知函数$f(x)=e^{-x + 2}\cdot(2x + 1)^{4}$，则$f'(0)=$（ ）
A. $e^{2}$
B. 1
C. $7e^{2}$
D. $9e^{-2}$

答案： 3.C
∵(e−x+²)'=−e−x+²,[(2x+1)⁴]=8(2x+1)²,
∴∮'(x)=−e−x+²(2x+1)⁴+e−x+².8(2x+1)²,则f'
(0)=−e²+8e²=7e².

4. 曲线$f(x)=xe^{x - 1}$在点$(1,1)$处的切线的斜率等于（ ）
A. 2e
B. e
C. 2
D. 1

答案： 4.Cf'(x)=ex−¹+re²−¹=(x+1)ex−¹,故曲线f(x)在点(1,1)处的切线的斜率为f'
(1)=2.

5.（2024·吉林二中期末）若曲线$f(x)=x^{2}e^{1 - mx}+mx$在点$(1,f(1))$处的切线的斜率为 2，则$m=$（ ）
A. 1
B. 2或1
C. -1或2
D. 2

答案： 5.Bf'(x)=2xe¹−mx+x²e−~(−m)+m=2xe¹−m−mx²e¹−mr+m.根据导数的几何意义,可得f'
(1)=
　2e¹−m−me²−"+m=2,所以(e¹−m−1)(2−m)=0,所以e¹−m−1=0或2−m=0,所以m=1或m=2,故选B.

6.（2023·合肥期末）若函数$f(x)$满足$f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-f'(1)\cdot x^{2}+e^{1 - x}$，则$f'(1)$的值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 0
D. -1

答案： 6.C　因为f(x)=$\frac{1}{3}$x²−f’
(1).x²+e²−x,所以f′(x)=
　x²−f'
(1).2x−e²−x,令x=1,得f'
(1)=1²−f'
(1)×2−1,解得∮'
(1)=0,故选C.

7. 已知曲线$y = e^{2x + 2}-x$在点$(x_{0},y_{0})$处的切线平行于直线$x - y - 2 = 0$，则$x_{0}=$_______.

答案： 7.−1
　解析　因为y=e²x+²−x,所以y'=2e²r+²−1,由题意可得2e²o+²−1=1,解得x。=−1.

8.（2023·黑龙江哈尔滨期中）已知函数$f(x)=f'(0)\ln(2x + 1)-2x+\cos x$，则$f'(x)=f'(0)\cdot\frac{2}{2x + 1}-2-\sin x$，令$x = 0$，可得$f'(0)=f'(0)\cdot2 - 2$，解得$f'(0)=2$。

答案： 8.2
　解析　因为f(x)=f'
(0)1n(2x+1)−2x+cosx,所以f′(x)=f'
(0)×$\frac{2}{2x+1}$−2−sinx,令x=0,得f'
(0)=
　f,
(0)×2−2,解得f'
(0)=2.

9. 求过点$P(-1,2)$且与曲线$y = 3x^{2}-4e^{-x + 1}-2$在点$M(1,-3)$处的切线$l$平行的直线方程.

答案： 9.解
∵y'=(3x²−4e−x+¹−2)'=6x+4e−x+¹,
∴曲线在点M(1,−3)处的切线1的斜率为6+4=10,
∴过点P(−1,2)且与切线l平行的直线方程为y−2=
　10(x+1),即10x−y+12=0.