《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第二册》

14.（2024·吉林蛟河一中月考）已知函数$f(x)=x^{3}+x - 16$.
（1）求$f'(x)$；
（2）求曲线$y = f(x)$过点$(2,-14)$的切线方程.

答案： 解
(1)因为 $f(x)=x^{3}+x - 16$，所以 $f^{\prime}(x)=3x^{2}+1$.
(2)设切点为 $(x_{0},x_{0}^{3}+x_{0}-16)$，因为 $f^{\prime}(x)=3x^{2}+1$，所以切线的斜率 $k = 3x_{0}^{2}+1$，所以所求切线方程为 $y-(x_{0}^{3}+x_{0}-16)=(3x_{0}^{2}+1)\cdot(x - x_{0})$，将 $(2,-14)$代入切线方程，得 $-14-(x_{0}^{3}+x_{0}-16)=(3x_{0}^{2}+1)(2 - x_{0})$，整理得 $x_{0}^{2}(x_{0}-3)=0$，解得 $x_{0}=0$或 $x_{0}=3$.
当 $x_{0}=0$时，$k = 1$，切线方程为 $y-(-14)=x - 2$，化简得 $y=x - 16$；
当 $x_{0}=3$时，$k = 28$，切线方程为 $y-(-14)=28(x - 2)$，化简得 $y=28x - 70$.
综上所述，曲线 $y = f(x)$过点 $(2,-14)$的切线方程为 $y=x - 16$或 $y=28x - 70$.

15. 求证：双曲线$C_{1}:x^{2}-y^{2}=5$与椭圆$C_{2}:4x^{2}+9y^{2}=72$在第一象限交点处的切线互相垂直.

答案： 证明 易知双曲线和椭圆在第一象限交点处的切线的斜率均存在. 设双曲线 $C_{1}$在交点处的切线的斜率为 $k_{1}$，椭圆 $C_{2}$在交点处的切线的斜率为 $k_{2}$. 联立两曲线的方程，求得它们在第一象限的交点为 $(3,2)$.
$C_{1}$在第一象限的部分对应的函数解析式为 $y=\sqrt{x^{2}-5}$，于是有 $y^{\prime}=[(x^{2}-5)^{\frac{1}{2}}]^{\prime}=\frac{(x^{2}-5)^{\prime}}{2\sqrt{x^{2}-5}}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-5}}$，$\therefore k_{1}=y^{\prime}|_{x = 3}=\frac{3}{2}$.
$C_{2}$在第一象限的部分对应的函数解析式为 $y=\sqrt{8-\frac{4}{9}x^{2}}$. $\therefore y^{\prime}=\frac{-\frac{8}{9}x}{2\sqrt{8-\frac{4}{9}x^{2}}}=-\frac{2x}{3\sqrt{18 - x^{2}}}$. $\therefore k_{2}=y^{\prime}|_{x = 3}=-\frac{2}{3}$.
$\because k_{1}\cdot k_{2}=-1$，$\therefore$两切线互相垂直.