《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第二册》

1. 一物体的运动方程是$s = 3 + 2t$，则在$[2,2.1]$这段时间内的平均速度是（ ）
A. 0.4
B. 2
C. 0.3
D. 0.2

答案： B $\overline{v}=\frac{s(2.1)-s(2)}{2.1 - 2}=\frac{0.2}{0.1}=2$.

2. 已知抛物线$y=\frac{1}{4}x^{2}$和这条曲线上的一点$P(1,\frac{1}{4})$，$Q$是该曲线上点$P$附近的一点，则点$Q$的坐标为（ ）
A. $(1+\Delta x,\frac{1}{4}(\Delta x)^{2})$
B. $(\Delta x,\frac{1}{4}(\Delta x)^{2})$
C. $(1+\Delta x,\frac{1}{4}(1+\Delta x)^{2})$
D. $(\Delta x,\frac{1}{4}(1+\Delta x)^{2})$

答案： C 抛物线$y = \frac{1}{4}x^{2}$上在点$P(1,\frac{1}{4})$附近的点$Q$的横坐标为$1+\Delta x$，则其纵坐标为$\frac{1}{4}(1+\Delta x)^{2}$. 故选 C.

3. (2023·福建福清三中期中)一质点做直线运动，其位移$s$（单位：m）与时间$t$（单位：s）之间的关系为$s=-2t^{2}+t + 3$，则该质点的初速度是（ ）
A. 1 m/s
B. 2 m/s
C. -3 m/s
D. -4 m/s

答案： A 质点的初速度即在$t = 0$时的瞬时速度. 因为质点在$[0,0+\Delta t]$这段时间内的平均速度$\overline{v}=\frac{-2(0+\Delta t)^{2}+(0+\Delta t)+3 - 3}{\Delta t}=-2\Delta t + 1$，所以质点在$t = 0$时的瞬时速度为$\lim\limits_{\Delta t\rightarrow0}(-2\Delta t + 1)=1$，即质点的初速度为$1\ m/s$. 故选 A.

4. 抛物线$f(x)=2x^{2}-4$在点$(1,-2)$处的切线斜率为（ ）
A. 0
B. 1
C. 4
D. -2

答案： C 割线斜率$k=\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\frac{2(1+\Delta x)^{2}-4-(-2)}{\Delta x}=\frac{4\Delta x+2(\Delta x)^{2}}{\Delta x}=4 + 2\Delta x$，所以抛物线$f(x)=2x^{2}-4$在点$(1,-2)$处的切线斜率为$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}(4 + 2\Delta x)=4$.

5. 一质点的位移$s$与时间$t$之间的关系为$s=t^{2}+3$，若该质点在时间段$[1,m]$内运动的平均速度为 3，则$m$的值为（ ）
A. 3
B. 2
C. 1
D. 4

答案： B 由已知得$\frac{m^{2}+3-(1^{2}+3)}{m - 1}=3$，$\therefore m + 1 = 3$，$\therefore m = 2$.

6. (2024·河北唐山一中月考)物体的位移$s$与时间$t$之间的关系是$s=-4t^{2}+16t$，若该物体在某一时刻的速度为零，则相应时刻为（ ）
A. $t = 1$
B. $t = 2$
C. $t = 3$
D. $t = 4$

答案： B 设物体在$t$时刻的速度为零，则$\lim\limits_{\Delta t\rightarrow0}\frac{-4(t+\Delta t)^{2}+16(t+\Delta t)+4t^{2}-16t}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow0}\frac{-8\Delta t\cdot t-4(\Delta t)^{2}+16\Delta t}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow0}(-8t-4\Delta t + 16)=-8t + 16 = 0$，$\therefore t = 2$. 故选 B.

7. 某汽车启动阶段的位移函数为$s(t)=2t^{3}-5t^{2}$，其中位移$s$的单位为 m，时间$t$的单位为 s，则当$t = 2\ s$时，汽车的瞬时速度是________．

答案： $4\ m/s$
解析 $v=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow0}\frac{2(2+\Delta t)^{3}-5(2+\Delta t)^{2}-(2\times2^{3}-5\times2^{2})}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow0}[4 + 7\Delta t+2(\Delta t)^{2}]=4(m/s)$.

8. 抛物线$y=x^{2}+4$在点$(1,5)$处的切线斜率为________．

答案： $2$
解析 $k=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{(1+\Delta x)^{2}+4 - 5}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}(\Delta x + 2)=2$.

9. 一质点做直线运动，其位移$s$与时间$t$之间的关系为$s = 8 - 4t^{2}$．
(1)求质点在$[1,1+\Delta t]$这段时间内的平均速度；
(2)求质点在$t = 1$时的瞬时速度．

答案： 解
(1)质点在$[1,1+\Delta t]$这段时间内的平均速度为$\overline{v}=\frac{8-4(1+\Delta t)^{2}-8 + 4\times1^{2}}{\Delta t}=-8-4\Delta t$.
(2)由
(1)知$\overline{v}=-8-4\Delta t$，则$\lim\limits_{\Delta t\rightarrow0}(-8-4\Delta t)=-8$，所以质点在$t = 1$时的瞬时速度为$-8$.