《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第二册》

10. 在受到制动后的$t\ s$内飞轮转过的角度（单位：rad）满足$\varphi(t)=4t - 0.3t^{2}$．
求：(1)当$t = 2$时，飞轮转过的角度；
(2)飞轮停止旋转的时刻．

答案： 解
(1)当$t = 2$时，飞轮转过的角度$\varphi(2)=8-1.2 = 6.8(rad)$.
(2)飞轮受到制动后的瞬时角速度为$\lim\limits_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\varphi(t+\Delta t)-\varphi(t)}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow0}\frac{4(t+\Delta t)-0.3(t+\Delta t)^{2}-4t + 0.3t^{2}}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow0}\frac{4\Delta t-0.3(\Delta t)^{2}-0.6t\cdot\Delta t}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow0}(4-0.3\Delta t-0.6t)=4-0.6t$，因为飞轮停止旋转时的瞬时角速度为$0$，所以令$4-0.6t = 0$，得$t=\frac{20}{3}$，所以在$t=\frac{20}{3}$时飞轮停止旋转.

11. 若曲线$y = 2x^{2}-4x + m$与直线$y = 1$相切，则$m=$（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： C 设切点坐标为$(x_{0},1)$，则$k=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{2(x_{0}+\Delta x)^{2}-4(x_{0}+\Delta x)-2x_{0}^{2}+4x_{0}}{\Delta x}=4x_{0}-4 = 0$，所以$x_{0}=1$，即切点坐标为$(1,1)$，所以$2-4 + m = 1$，即$m = 3$.

12. (多选)一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离$h$（单位：m）与时间$t$（单位：s）之间的函数关系为$h(t)=2t^{2}+2t$，则下列说法正确的是（ ）
A. 前 3 s 内球滚下的垂直距离的增量$\Delta h = 20\ m$
B. 在时间$[2,3]$内球滚下的垂直距离的增量$\Delta h = 12\ m$
C. 前 3 s 内球在垂直方向上的平均速度为 8 m/s
D. 在时间$[2,3]$内球在垂直方向上的平均速度为 12 m/s

答案： BCD 前$3\ s$内，$\Delta t = 3\ s$，$\Delta h=h(3)-h(0)=24\ m$，此时球在垂直方向上的平均速度为$\frac{\Delta h}{\Delta t}=\frac{24}{3}=8\ m/s$，A 错误，C 正确；在时间$[2,3]$内，$\Delta t = 1\ s$，$\Delta h=h(3)-h(2)=12\ m$，此时球在垂直方向上的平均速度为$\frac{\Delta h}{\Delta t}=\frac{12}{1}=12\ m/s$，B 正确，D 正确. 故选 BCD.

13. (2023·宁波联考)抛物线$f(x)=x^{2}-4x$在$(-1,5)$处的切线方程为______________．

答案： $6x + y+1 = 0$
解析 抛物线在$(-1,5)$处切线的斜率$k=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{(-1+\Delta x)^{2}-4(-1+\Delta x)-5}{\Delta x}=-6$，所以切线方程为$y - 5=-6(x + 1)$，即$6x + y+1 = 0$.

14. 已知抛物线$y = x^{2}$和直线$x - y - 2 = 0$，求抛物线上一点到该直线的最短距离．

答案： 解 根据题意可知，与直线$x - y-2 = 0$平行的抛物线$y = x^{2}$的切线对应的切点到直线$x - y-2 = 0$的距离最短，设切点坐标为$(x_{0},x_{0}^{2})$，则在该切点处的切线的斜率$k=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{(x_{0}+\Delta x)^{2}-x_{0}^{2}}{\Delta x}=2x_{0}=1$，所以$x_{0}=\frac{1}{2}$，所以切点坐标为$(\frac{1}{2},\frac{1}{4})$，切点到直线$x - y-2 = 0$的距离$d=\frac{\vert\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-2\vert}{\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{8}$，所以抛物线上一点到直线$x - y-2 = 0$的最短距离为$\frac{7\sqrt{2}}{8}$.

15. (易错题)自由落体运动的公式为$s(t)=\frac{1}{2}gt^{2}$（$g = 10\ m/s^{2}$），若$v=\frac{s(1+\Delta t)-s(1)}{\Delta t}$，则下列说法正确的是（ ）
A. $v$是物体在$0～1\ s$这段时间内的速度
B. $v$是物体从$1\ s$到$(1+\Delta t)\ s$这段时间内的速度
C. $(5\Delta t + 10)\ m/s$是物体在$t = 1\ s$这一时刻的速度
D. $(5\Delta t + 10)\ m/s$是物体从$1\ s$到$(1+\Delta t)\ s$这段时间内的平均速度

答案： D 由平均速度的概念知$v=\frac{s(1+\Delta t)-s(1)}{\Delta t}=(5\Delta t + 10)m/s$.

16. (逻辑推理)已知做自由落体运动的物体的位移$s$与时间$t$之间的关系为$s(t)=5t^{2}$，则物体在$2$到$2+\Delta t$这一段时间内的平均速度为________，物体在$t = 2$时的瞬时速度为________．

答案： $20 + 5\Delta t$ $20$
解析 物体在$t = 2$到$t = 2+\Delta t$这一段时间内的平均速度为$\overline{v}=\frac{5(2+\Delta t)^{2}-5\times2^{2}}{\Delta t}=20 + 5\Delta t$，则当$\Delta t\rightarrow0$时，$\overline{v}\rightarrow20$，即$t = 2$时的瞬时速度为$20$.