《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第二册》

10.设$f(x)=(ax + b)\sin x+(cx + d)\cos x$，试确定常数$a,b,c,d$，使得$f'(x)=x\cos x$.

答案： 解 由已知得$f'(x)=[(ax + b)\sin x+(cx + d)\cos x]'=[(ax + b)\sin x]'+[(cx + d)\cos x]'=(ax + b)'\sin x+(ax + b)(\sin x)'+(cx + d)'\cos x+(cx + d)(\cos x)'=a\sin x+(ax + b)\cos x+c\cos x-(cx + d)\sin x=(a - cx - d)\sin x+(ax + b + c)\cos x$，又$\because f'(x)=x\cos x$，$\therefore\begin{cases}a - d = 0\\a - cx - d = 0\\ax + b + c = x\end{cases}$，即$\begin{cases}a - d = 0\\-c = 0\\a = 1\\b + c = 0\end{cases}$，解得$a = d = 1$，$b = c = 0$.

11.若函数$f(x)=(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)$，且$f'(x)$是$f(x)$的导函数，则$f'(1)=$ （ ）
A. 24
B. -24
C. 10
D. -10

答案： A 因为$f(x)=(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)\cdot(x - 5)$，所以$f'(x)=(x - 1)'[(x - 2)(x - 3)(x - 4)\cdot(x - 5)]+(x - 1)[(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)]'=(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)+(x - 1)[(x - 2)\cdot(x - 3)(x - 4)(x - 5)]'$，所以$f'(1)=(1 - 2)(1 - 3)(1 - 4)\cdot(1 - 5)=24$. 故选 A.

12.（多选）若存在过点$O(0,0)$的直线$l$与曲线$f(x)=x^{3}-3x^{2}+2x$和$y = x^{2}+a$都相切，则$a$的值可以是 （ ）
A. 1
B. $\frac{1}{64}$
C. $\frac{1}{32}$
D. $-\frac{1}{64}$

答案： AB 当$O(0,0)$为曲线$f(x)$的切点时，因为$f'(0)=2$，所以直线$l$的方程为$y = 2x$，又直线$l$与曲线$y = x^{2}+a$相切，所以$x^{2}+a - 2x = 0$满足$\Delta = 4 - 4a = 0$，得$a = 1$；当$O(0,0)$不是曲线$f(x)$的切点时，设切点为$(x_{0},x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}+2x_{0})(x_{0}\neq0)$，则$f'(x_{0})=3x_{0}^{2}-6x_{0}+2$，所以$\frac{x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}+2x_{0}}{x_{0}}=3x_{0}^{2}-6x_{0}+2$，得$x_{0}=\frac{3}{2}$，所以$f'(\frac{3}{2})=-\frac{1}{4}$，所以直线$l$的方程为$y = -\frac{1}{4}x$. 由$\begin{cases}y = -\frac{1}{4}x\\y = x^{2}+a\end{cases}$，得$x^{2}+\frac{1}{4}x + a = 0$，由题意得$\Delta=\frac{1}{16}-4a = 0$，所以$a=\frac{1}{64}$. 综上，$a = 1$或$a=\frac{1}{64}$. 故选 AB.

13.（2024·河南新乡期末）设$P$为曲线$C:y = x^{3}-x^{2}+2$上的点，且曲线$C$在点$P$处的切线的倾斜角的取值范围为$[0,\frac{\pi}{4}]$，则点$P$的横坐标的取值范围为________________.

答案： $[-\frac{1}{3},0]\cup[\frac{2}{3},1]$
解析 因为曲线$C$在点$P$处的切线的倾斜角的取值范围是$[0,\frac{\pi}{4}]$，所以切线斜率的取值范围是$[0,1]$. 对函数$y = x^{3}-x^{2}+2$求导，得$y'=3x^{2}-2x$. 因为$0\leq y'\leq1$，所以$0\leq3x^{2}-2x\leq1$. 解不等式$3x^{2}-2x\geq0$，得$x\leq0$或$x\geq\frac{2}{3}$；解不等式$3x^{2}-2x\leq1$，得$-\frac{1}{3}\leq x\leq1$. 所以$0\leq3x^{2}-2x\leq1$的解集为$[-\frac{1}{3},0]\cup[\frac{2}{3},1]$. 因此，点$P$的横坐标的取值范围是$[-\frac{1}{3},0]\cup[\frac{2}{3},1]$.

14.已知函数$f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-2x^{2}+3x(x\in\mathbf{R})$的图象为曲线$C$.
（1）求曲线$C$上任意一点的切线的斜率的取值范围；
（2）若在曲线$C$上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线$C$的切点的横坐标的取值范围.

答案： 解
(1)由题意得$f'(x)=x^{2}-4x + 3$，则$f'(x)=(x - 2)^{2}-1\geq - 1$，即曲线$C$上任意一点的切线的斜率的取值范围是$[-1,+\infty)$.
(2)设曲线$C$的其中一条切线的斜率为$k$，则由条件和
(1)中结论可知，$\begin{cases}k\geq - 1\\-\frac{1}{k}\geq - 1\end{cases}$，解得$-1\leq k\lt0$或$k\geq1$，故$-1\leq x^{2}-4x + 3\lt0$或$x^{2}-4x + 3\geq1$，解得$x\in(-\infty,2-\sqrt{2}]\cup(1,3)\cup[2+\sqrt{2},+\infty)$.

15.（直观想象）（多选）函数$f(x)=ax^{2}+bx + c(a\neq0)$和函数$g(x)=c\cdot f'(x)$（其中$f'(x)$为$f(x)$的导函数）的图象在同一直角坐标系中的情况可以为 （ ）

答案： BC 由$f(x)=ax^{2}+bx + c$，得$f'(x)=2ax + b$，则$g(x)=2acx + bc$. 由 A、B 中函数$g(x)$的图象得$\begin{cases}ac\gt0\\bc\lt0\end{cases}$. 若$c\lt0$，则$\begin{cases}a\lt0\\b\gt0\end{cases}$，此时$f(0)=c\lt0$，$-\frac{b}{2a}\gt0$，又$a\lt0$，所以$f(x)$的图象开口向下，则此时 A、B 均不符合要求；若$c\gt0$，则$\begin{cases}a\gt0\\b\lt0\end{cases}$，此时$f(0)=c\gt0$，$-\frac{b}{2a}\gt0$，又$a\gt0$，所以$f(x)$的图象开口向上，则此时 A 不符合要求，B 符合要求. 由 C、D 中函数$g(x)$的图象得$\begin{cases}ac\lt0\\bc\gt0\end{cases}$. 若$c\gt0$，则$\begin{cases}a\lt0\\b\gt0\end{cases}$，此时$f(0)=c\gt0$，$-\frac{b}{2a}\gt0$，又$a\lt0$，所以$f(x)$的图象开口向下，则此时 C 符合要求，D 不符合要求；若$c\lt0$，则$\begin{cases}a\gt0\\b\lt0\end{cases}$，此时$f(0)=c\lt0$，$-\frac{b}{2a}\gt0$，又$a\gt0$，所以$f(x)$的图象开口向上，则此时 C、D 均不符合要求. 故选 BC.

16.（数学运算）某物体做直线运动，其运动规律是$s=t^{2}+\frac{3}{t}$（$t$的单位：s，$s$的单位：m），则它在第4 s末的瞬时速度为________m/s.

答案： $\frac{125}{16}$
解析 由$s=t^{2}+\frac{3}{t}$，可得瞬时速度$v = s'=2t-\frac{3}{t^{2}}$，故它在第$4\ s$末的瞬时速度为$2\times4-\frac{3}{4^{2}}=\frac{125}{16}\ m/s$.