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1. 计算：$(\frac{2}{3})^{-1}-(-\frac{\pi}{2})^0×(-1)^{2024}+(-\frac{1}{2})^2$。
答案：
$\frac{3}{4}$
解析：$(\frac{2}{3})^{-1}=\frac{3}{2}$，$(-\frac{\pi}{2})^0 = 1$，$(-1)^{2024}=1$，$(-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，原式$=\frac{3}{2}-1×1+\frac{1}{4}=\frac{3}{2}-1+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。
解析：$(\frac{2}{3})^{-1}=\frac{3}{2}$，$(-\frac{\pi}{2})^0 = 1$，$(-1)^{2024}=1$，$(-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，原式$=\frac{3}{2}-1×1+\frac{1}{4}=\frac{3}{2}-1+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。
2. 比较$2021^{-2022}$与$2022^{-2021}$的大小，我们可以采用从“特殊到一般”的思想方法：
（1）通过计算比较下列各式中两数的大小：（填“＞”“＜”或“=”）
①$1^{-2}$______$2^{-1}$；②$2^{-3}$______$3^{-2}$；③$3^{-4}$______$4^{-3}$；④$4^{-5}$______$5^{-4}$。
（2）由（1）可以猜测$n^{-(n + 1)}$与$(n + 1)^{-n}$（$n$为正整数）的大小关系：
当$n$______时，$n^{-(n + 1)}＞(n + 1)^{-n}$；当$n$______时，$n^{-(n + 1)}＜(n + 1)^{-n}$。
（3）根据上面的猜想，有$2021^{-2022}$______$2022^{-2021}$（填“＞”“＜”或“=”）。
（1）通过计算比较下列各式中两数的大小：（填“＞”“＜”或“=”）
①$1^{-2}$______$2^{-1}$；②$2^{-3}$______$3^{-2}$；③$3^{-4}$______$4^{-3}$；④$4^{-5}$______$5^{-4}$。
（2）由（1）可以猜测$n^{-(n + 1)}$与$(n + 1)^{-n}$（$n$为正整数）的大小关系：
当$n$______时，$n^{-(n + 1)}＞(n + 1)^{-n}$；当$n$______时，$n^{-(n + 1)}＜(n + 1)^{-n}$。
（3）根据上面的猜想，有$2021^{-2022}$______$2022^{-2021}$（填“＞”“＜”或“=”）。
答案：
（1）①＞；②＞；③＜；④＜
（2）≤2；≥3
（3）＜
解析：（1）①$1^{-2}=1$，$2^{-1}=\frac{1}{2}\Rightarrow1＞\frac{1}{2}$；②$2^{-3}=\frac{1}{8}$，$3^{-2}=\frac{1}{9}\Rightarrow\frac{1}{8}＞\frac{1}{9}$；③$3^{-4}=\frac{1}{81}$，$4^{-3}=\frac{1}{64}\Rightarrow\frac{1}{81}＜\frac{1}{64}$；④$4^{-5}=\frac{1}{1024}$，$5^{-4}=\frac{1}{625}\Rightarrow\frac{1}{1024}＜\frac{1}{625}$。
（2）观察（1）得，当$n≤2$时，$n^{-(n + 1)}＞(n + 1)^{-n}$；当$n≥3$时，反之。
（3）2021≥3，故$2021^{-2022}＜2022^{-2021}$。
（2）≤2；≥3
（3）＜
解析：（1）①$1^{-2}=1$，$2^{-1}=\frac{1}{2}\Rightarrow1＞\frac{1}{2}$；②$2^{-3}=\frac{1}{8}$，$3^{-2}=\frac{1}{9}\Rightarrow\frac{1}{8}＞\frac{1}{9}$；③$3^{-4}=\frac{1}{81}$，$4^{-3}=\frac{1}{64}\Rightarrow\frac{1}{81}＜\frac{1}{64}$；④$4^{-5}=\frac{1}{1024}$，$5^{-4}=\frac{1}{625}\Rightarrow\frac{1}{1024}＜\frac{1}{625}$。
（2）观察（1）得，当$n≤2$时，$n^{-(n + 1)}＞(n + 1)^{-n}$；当$n≥3$时，反之。
（3）2021≥3，故$2021^{-2022}＜2022^{-2021}$。
3. 已知$a = 2^{-4444}$，$b = 3^{-3333}$，$c = 5^{-2222}$，请用“＜”把它们按从小到大的顺序连接起来，说明理由。
答案：
$b ＜ c ＜ a$
解析：$a=(2^{-4})^{1111}=(\frac{1}{16})^{1111}$，$b=(3^{-3})^{1111}=(\frac{1}{27})^{1111}$，$c=(5^{-2})^{1111}=(\frac{1}{25})^{1111}$。因为$\frac{1}{27}＜\frac{1}{25}＜\frac{1}{16}$，所以$b ＜ c ＜ a$。
解析：$a=(2^{-4})^{1111}=(\frac{1}{16})^{1111}$，$b=(3^{-3})^{1111}=(\frac{1}{27})^{1111}$，$c=(5^{-2})^{1111}=(\frac{1}{25})^{1111}$。因为$\frac{1}{27}＜\frac{1}{25}＜\frac{1}{16}$，所以$b ＜ c ＜ a$。
4. 若$(x^m÷ x^{2n})^3÷ x^{2m - n}$与$2x^3$是同类项，求$(m - 5n)^{-3}$的值。
答案：
$\frac{1}{27}$
解析：$(x^m÷ x^{2n})^3÷ x^{2m - n}=x^{3(m - 2n)}÷ x^{2m - n}=x^{3m - 6n - 2m + n}=x^{m - 5n}$，与$2x^3$同类项则$m - 5n = 3$，故$(m - 5n)^{-3}=3^{-3}=\frac{1}{27}$。
解析：$(x^m÷ x^{2n})^3÷ x^{2m - n}=x^{3(m - 2n)}÷ x^{2m - n}=x^{3m - 6n - 2m + n}=x^{m - 5n}$，与$2x^3$同类项则$m - 5n = 3$，故$(m - 5n)^{-3}=3^{-3}=\frac{1}{27}$。
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