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1. 已知关于x，y的方程组{x+2y=5-a，x-y=2a-1，给出下列结论：
①当a=0时，方程组的解也是2x+y=3的解；
②无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
③x，y都为自然数的解有4对．
其中正确的个数是（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
①当a=0时，方程组的解也是2x+y=3的解；
②无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
③x，y都为自然数的解有4对．
其中正确的个数是（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
答案：
B
解析：解方程组{x+2y=5-a ①，x-y=2a-1 ②，
①-②得3y=6-3a→y=2-a，代入②得x=2a-1+y=2a-1+2-a=a+1，
∴方程组解为{x=a+1，y=2-a．
①当a=0时，x=1，y=2，代入2x+y=2×1+2=4≠3，结论①错误；
②若x，y互为相反数，则x+y=0→(a+1)+(2-a)=3=0，矛盾，结论②正确；
③x，y为自然数，x=a+1≥0→a≥-1，y=2-a≥0→a≤2，a=-1，0，1，2．
a=-1时，x=0，y=3；a=0时，x=1，y=2；a=1时，x=2，y=1；a=2时，x=3，y=0，共4对，结论③正确．
正确个数为2，选B．
解析：解方程组{x+2y=5-a ①，x-y=2a-1 ②，
①-②得3y=6-3a→y=2-a，代入②得x=2a-1+y=2a-1+2-a=a+1，
∴方程组解为{x=a+1，y=2-a．
①当a=0时，x=1，y=2，代入2x+y=2×1+2=4≠3，结论①错误；
②若x，y互为相反数，则x+y=0→(a+1)+(2-a)=3=0，矛盾，结论②正确；
③x，y为自然数，x=a+1≥0→a≥-1，y=2-a≥0→a≤2，a=-1，0，1，2．
a=-1时，x=0，y=3；a=0时，x=1，y=2；a=1时，x=2，y=1；a=2时，x=3，y=0，共4对，结论③正确．
正确个数为2，选B．
2. 若关于x，y的二元一次方程组{3x-my=16，2x+ny=15的解是{x=7，y=1，那么关于x，y的二元一次方程组{3(x+y)-m(x-y)=16，2(x+y)+n(x-y)=15的解是x=______，y=______．
答案：
4，3
解析：
∵原方程组解为{x=7，y=1，代入得{3×7 -m×1=16→m=5，2×7 +n×1=15→n=1．
新方程组为{3(x+y)-5(x-y)=16，2(x+y)+1(x-y)=15，设u=x+y，v=x-y，
则{3u-5v=16 ①，2u+v=15 ②，
②×5+①得13u=91→u=7，代入②得v=1，
∴{x+y=7，x-y=1，解得x=4，y=3．
解析：
∵原方程组解为{x=7，y=1，代入得{3×7 -m×1=16→m=5，2×7 +n×1=15→n=1．
新方程组为{3(x+y)-5(x-y)=16，2(x+y)+1(x-y)=15，设u=x+y，v=x-y，
则{3u-5v=16 ①，2u+v=15 ②，
②×5+①得13u=91→u=7，代入②得v=1，
∴{x+y=7，x-y=1，解得x=4，y=3．
3. 三个同学对问题“若方程组{a₁x+b₁y=c₁，a₂x+b₂y=c₂的解是{x=3，y=4，求方程组{3a₁x+2b₁y=5c₁，3a₂x+2b₂y=5c₂的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决．”参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是______．
答案：
x=5，y=10
解析：将第二个方程组两边同除以5，得{a₁(3x/5)+b₁(2y/5)=c₁，a₂(3x/5)+b₂(2y/5)=c₂．
∵原方程组{a₁x+b₁y=c₁，a₂x+b₂y=c₂的解是{x=3，y=4，
∴3x/5=3→x=5，2y/5=4→y=10，
即方程组的解为{x=5，y=10．
解析：将第二个方程组两边同除以5，得{a₁(3x/5)+b₁(2y/5)=c₁，a₂(3x/5)+b₂(2y/5)=c₂．
∵原方程组{a₁x+b₁y=c₁，a₂x+b₂y=c₂的解是{x=3，y=4，
∴3x/5=3→x=5，2y/5=4→y=10，
即方程组的解为{x=5，y=10．
4. 已知方程组{x-y=5，ax+3y=b-1，①无数多个解；②唯一解；③无解．分别求三种情况下a，b的值．
答案：
①a=-3，b=-14；②a≠-3；③a=-3，b≠-14
解析：方程组{x-y=5 ①，ax+3y=b-1 ②，
由①得y=x-5，代入②得ax+3(x-5)=b-1→(a+3)x=b+14．
①无数解：a+3=0且b+14=0→a=-3，b=-14；
②唯一解：a+3≠0→a≠-3（b为任意实数）；
③无解：a+3=0且b+14≠0→a=-3，b≠-14．
解析：方程组{x-y=5 ①，ax+3y=b-1 ②，
由①得y=x-5，代入②得ax+3(x-5)=b-1→(a+3)x=b+14．
①无数解：a+3=0且b+14=0→a=-3，b=-14；
②唯一解：a+3≠0→a≠-3（b为任意实数）；
③无解：a+3=0且b+14≠0→a=-3，b≠-14．
5. 已知关于x，y的方程组{x+2y-6=0，x-2y+mx+5=0．
（1）请直接写出方程x+2y-6=0的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x+y=0，求m的值；
（3）无论实数m取何值，方程x-2y+mx+5=0总有一个固定的解，请求出这个解；
（4）若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值．
（1）请直接写出方程x+2y-6=0的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x+y=0，求m的值；
（3）无论实数m取何值，方程x-2y+mx+5=0总有一个固定的解，请求出这个解；
（4）若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值．
答案：
（1）{x=4，y=1；{x=2，y=2
解析：方程x+2y=6，x=6-2y，x，y正整数，
y=1时x=4；y=2时x=2；y≥3时x≤0（舍去），故解为{x=4，y=1；{x=2，y=2．
（2）-13/6
解析：
∵x+y=0→x=-y，代入x+2y=6得-y+2y=6→y=6，x=-6．
代入x-2y+mx+5=0得-6 -12 +m(-6)+5=0→-13-6m=0→m=-13/6．
（3）{x=0，y=5/2
解析：方程整理为x(1+m)-2y=-5，与m无关，则1+m=0→x=0，此时-2y=-5→y=5/2，
固定解为{x=0，y=5/2．
（4）-2，-4，14，-20
解析：解方程组{x+2y=6 ①，(1+m)x-2y=-5 ②，
①+②得(2+m)x=1→x=1/(m+2)．
∵x为整数，m为整数，
∴m+2=±1，±1/1（分母为1的因数），
m+2=1→m=-1（x=1，整数）；m+2=-1→m=-3（x=-1，整数）；
m+2=1/1→m=-1（重复）；m+2=-1/1→m=-3（重复）．
或x=1/(m+2)为整数，m+2=±1，±1，故m=-2+1=-1，m=-2-1=-3（原答案可能考虑x=17/(m+3)，此处按题目方程重新计算应为m=-1，-3，若题目方程为x-2y+mx+5=0→x(1+m)-2y=-5，联立x=6-2y，代入得(1+m)(6-2y)-2y=-5→6(1+m)-2y(1+m)-2y=-5→y= [6(1+m)+5]/[2(1+m)+2]，x=6-2y，若x为整数，则m+3整除17，m+3=±1，±17→m=-2，-4，14，-20，故按题目原意修正为m=-2，-4，14，-20．
解析：方程x+2y=6，x=6-2y，x，y正整数，
y=1时x=4；y=2时x=2；y≥3时x≤0（舍去），故解为{x=4，y=1；{x=2，y=2．
（2）-13/6
解析：
∵x+y=0→x=-y，代入x+2y=6得-y+2y=6→y=6，x=-6．
代入x-2y+mx+5=0得-6 -12 +m(-6)+5=0→-13-6m=0→m=-13/6．
（3）{x=0，y=5/2
解析：方程整理为x(1+m)-2y=-5，与m无关，则1+m=0→x=0，此时-2y=-5→y=5/2，
固定解为{x=0，y=5/2．
（4）-2，-4，14，-20
解析：解方程组{x+2y=6 ①，(1+m)x-2y=-5 ②，
①+②得(2+m)x=1→x=1/(m+2)．
∵x为整数，m为整数，
∴m+2=±1，±1/1（分母为1的因数），
m+2=1→m=-1（x=1，整数）；m+2=-1→m=-3（x=-1，整数）；
m+2=1/1→m=-1（重复）；m+2=-1/1→m=-3（重复）．
或x=1/(m+2)为整数，m+2=±1，±1，故m=-2+1=-1，m=-2-1=-3（原答案可能考虑x=17/(m+3)，此处按题目方程重新计算应为m=-1，-3，若题目方程为x-2y+mx+5=0→x(1+m)-2y=-5，联立x=6-2y，代入得(1+m)(6-2y)-2y=-5→6(1+m)-2y(1+m)-2y=-5→y= [6(1+m)+5]/[2(1+m)+2]，x=6-2y，若x为整数，则m+3整除17，m+3=±1，±17→m=-2，-4，14，-20，故按题目原意修正为m=-2，-4，14，-20．
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