《2025年评优监测课时作业七年级数学下册苏科版》

1. 已知$25^a\cdot5^{2b}=5^4$，$4^c÷4^a = 4$，则代数式$a(a + b)+3c$的值是（ ）
A. 3
B. 6
C. 7
D. 8

答案： D
解析：$25^a = 5^{2a}$，则$5^{2a + 2b}=5^4\Rightarrow a + b = 2$；$4^{c - a}=4^1\Rightarrow c - a = 1\Rightarrow c = a + 1$。原式$=a(a + b)+3c = 2a + 3(a + 1)=5a + 3$，当$a = 1$时，$5 + 3 = 8$。

2. 我们知道，同底数幂的除法法则为$a^m÷ a^n = a^{m - n}$（其中$a\neq0$，$m$，$n$为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数$m$，$n$的一种新运算：$f(m - n)=f(m)÷ f(n)$（其中$f(m)$，$f(n)$都为正数），请根据这种新运算填空：
（1）若$f(2)=4$，$f(3)=8$，则$f(1)=$______；
（2）若$f(2000)=k$，$f(2)=4$，则$f(500)=$______（用含$k$的代数式表示，其中$k＞0$）。

答案： （1）2
（2）$k^{\frac{1}{4}}$
解析：（1）$f(3 - 2)=f(3)÷ f(2)=8÷4 = 2\Rightarrow f(1)=2$。
（2）由$f(2)=4 = 2^2$，$f(1)=2 = 2^1$，猜想$f(n)=2^n$，则$f(2000)=2^{2000}=k\Rightarrow2^{500}=k^{\frac{1}{4}}\Rightarrow f(500)=k^{\frac{1}{4}}$。

3. 已知$10^m = 50$，$10^n=\frac{1}{2}$，计算：
（1）$10^{m - n}$的值；
（2）$9^m÷3^{2n}$的值。

答案： （1）100
（2）81
解析：（1）$10^{m - n}=10^m÷10^n=50÷\frac{1}{2}=100$。
（2）$9^m÷3^{2n}=9^m÷9^n=9^{m - n}=(9)^{2}=81$（因为$m - n = 2$）。

4. 若$9^m\cdot27^{m - 1}÷3^{3m}=27$，则$m^{2017}$的个位数字是______。

答案： 3
解析：$9^m = 3^{2m}$，$27^{m - 1}=3^{3(m - 1)}$，原式$=3^{2m + 3m - 3 - 3m}=3^{2m - 3}=27 = 3^3\Rightarrow2m - 3 = 3\Rightarrow m = 3$。$3^1=3$，$3^2=9$，$3^3=27$，$3^4=81$，周期4，$2017÷4 = 504\cdots1$，个位数字为3。

5. 若$3^x = 4$，$3^y = 6$，求$9^{2x - y}+27^{x - y}$的值。

答案： $\frac{200}{27}$
解析：$9^{2x - y}=3^{4x - 2y}=(3^x)^4÷(3^y)^2=4^4÷6^2=256÷36=\frac{64}{9}$；$27^{x - y}=3^{3x - 3y}=(3^x)^3÷(3^y)^3=4^3÷6^3=64÷216=\frac{8}{27}$，原式$=\frac{64}{9}+\frac{8}{27}=\frac{200}{27}$。