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1. 已知$a$，$b$，$c$为自然数，且满足$2^a×3^b×4^c = 192$，则$a + b + c$的取值不可能是（ ）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
答案：
D
解析：$4^c = 2^{2c}$，原式$=2^{a + 2c}×3^b = 192 = 2^6×3^1$，故$\begin{cases}a + 2c = 6\\b = 1\end{cases}$。自然数解：$c=0\Rightarrow a=6$；$c=1\Rightarrow a=4$；$c=2\Rightarrow a=2$；$c=3\Rightarrow a=0$。则$a + b + c$可能为6+1+0=7，4+1+1=6，2+1+2=5，0+1+3=4，不可能为8。
解析：$4^c = 2^{2c}$，原式$=2^{a + 2c}×3^b = 192 = 2^6×3^1$，故$\begin{cases}a + 2c = 6\\b = 1\end{cases}$。自然数解：$c=0\Rightarrow a=6$；$c=1\Rightarrow a=4$；$c=2\Rightarrow a=2$；$c=3\Rightarrow a=0$。则$a + b + c$可能为6+1+0=7，4+1+1=6，2+1+2=5，0+1+3=4，不可能为8。
2. 当$3m + 2n = 4$时，$8^m×4^n=$______。
答案：
16
解析：$8^m = (2^3)^m = 2^{3m}$，$4^n=(2^2)^n = 2^{2n}$，故$8^m×4^n = 2^{3m + 2n}=2^4 = 16$。
解析：$8^m = (2^3)^m = 2^{3m}$，$4^n=(2^2)^n = 2^{2n}$，故$8^m×4^n = 2^{3m + 2n}=2^4 = 16$。
3. 阅读下列材料：
若$a^3 = 2$，$b^5 = 3$，则$a$，$b$的大小关系是$a$______$b$（填“＜”或“＞”）。
解：因为$a^{15}=(a^3)^5 = 2^5 = 32$，$b^{15}=(b^5)^3 = 3^3 = 27$，$32＞27$，所以$a^{15}＞b^{15}$。所以$a＞b$。
解答下列问题：
（1）上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质______。
A. 同底数幂的乘法
B. 同底数幂的除法
C. 幂的乘方
D. 积的乘方
（2）已知$x^7 = 2$，$y^9 = 3$，试比较$x$与$y$的大小。
若$a^3 = 2$，$b^5 = 3$，则$a$，$b$的大小关系是$a$______$b$（填“＜”或“＞”）。
解：因为$a^{15}=(a^3)^5 = 2^5 = 32$，$b^{15}=(b^5)^3 = 3^3 = 27$，$32＞27$，所以$a^{15}＞b^{15}$。所以$a＞b$。
解答下列问题：
（1）上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质______。
A. 同底数幂的乘法
B. 同底数幂的除法
C. 幂的乘方
D. 积的乘方
（2）已知$x^7 = 2$，$y^9 = 3$，试比较$x$与$y$的大小。
答案：
（1）C
（2）$x＜y$
解析：（1）将$a^{15}$化为$(a^3)^5$，逆用幂的乘方$(a^m)^n = a^{mn}$。
（2）$x^{63}=(x^7)^9 = 2^9 = 512$，$y^{63}=(y^9)^7 = 3^7 = 2187$，因为$512＜2187$，所以$x^{63}＜y^{63}$，即$x＜y$。
（2）$x＜y$
解析：（1）将$a^{15}$化为$(a^3)^5$，逆用幂的乘方$(a^m)^n = a^{mn}$。
（2）$x^{63}=(x^7)^9 = 2^9 = 512$，$y^{63}=(y^9)^7 = 3^7 = 2187$，因为$512＜2187$，所以$x^{63}＜y^{63}$，即$x＜y$。
4. 幂的运算性质在一定的条件下具有可逆性，如$a^m\cdot a^n = a^{m + n}$，则$a^{m + n}=a^m\cdot a^n$（$m$，$n$为正整数）。请运用所学知识解答下列问题：
（1）计算：$3^2×(-\frac{1}{3})^2=$______；
（2）已知$a^m = 2$，$a^n = 5$（$m$，$n$为正整数），则$a^{2m + n}=$______；
（3）已知$m$个$(x - y)$相乘的结果为$a^2$，$n$个$(x - y)$相乘的结果为$a^3$，若$(3m + 2n)$个$(x - y)$相乘的结果为64，求$a^4$的值。
（1）计算：$3^2×(-\frac{1}{3})^2=$______；
（2）已知$a^m = 2$，$a^n = 5$（$m$，$n$为正整数），则$a^{2m + n}=$______；
（3）已知$m$个$(x - y)$相乘的结果为$a^2$，$n$个$(x - y)$相乘的结果为$a^3$，若$(3m + 2n)$个$(x - y)$相乘的结果为64，求$a^4$的值。
答案：
（1）1
（2）20
（3）16
解析：（1）$3^2×(-\frac{1}{3})^2 = 9×\frac{1}{9}=1$。
（2）$a^{2m + n}=a^{2m}\cdot a^n=(a^m)^2\cdot a^n = 2^2×5 = 20$。
（3）由题意$(x - y)^m = a^2$，$(x - y)^n = a^3$，则$(x - y)^{3m + 2n}=(x - y)^{3m}\cdot(x - y)^{2n}=[(x - y)^m]^3\cdot[(x - y)^n]^2=(a^2)^3\cdot(a^3)^2 = a^6\cdot a^6 = a^{12}=64$，故$a^{12}=64 = 2^6=(2^{\frac{1}{2}})^{12}$，则$a^2 = 2$，$a^4=(a^2)^2 = 4$？（修正：$64=2^6$，$a^{12}=2^6\Rightarrow a^2=2^{\frac{6}{6}}=2\Rightarrow a^4=4$，原解析中“16”错误，应为4）
（2）20
（3）16
解析：（1）$3^2×(-\frac{1}{3})^2 = 9×\frac{1}{9}=1$。
（2）$a^{2m + n}=a^{2m}\cdot a^n=(a^m)^2\cdot a^n = 2^2×5 = 20$。
（3）由题意$(x - y)^m = a^2$，$(x - y)^n = a^3$，则$(x - y)^{3m + 2n}=(x - y)^{3m}\cdot(x - y)^{2n}=[(x - y)^m]^3\cdot[(x - y)^n]^2=(a^2)^3\cdot(a^3)^2 = a^6\cdot a^6 = a^{12}=64$，故$a^{12}=64 = 2^6=(2^{\frac{1}{2}})^{12}$，则$a^2 = 2$，$a^4=(a^2)^2 = 4$？（修正：$64=2^6$，$a^{12}=2^6\Rightarrow a^2=2^{\frac{6}{6}}=2\Rightarrow a^4=4$，原解析中“16”错误，应为4）
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