《2025年评优监测课时作业七年级数学下册苏科版》

1. 若$2^n + 2^n + \cdots + 2^n = 2^8$，则$n$的值为（ ）8个$2^n$
A. 8
B. 7
C. 6
D. 5

答案： D
解析：左边有8个$2^n$相加，即$8×2^n = 2^3×2^n = 2^{n+3}$。由$2^{n+3}=2^8$，得$n+3=8$，解得$n=5$。

2. 我们知道，同底数幂的乘法法则为$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$（其中$a\neq0$，$m$，$n$为正整数），类似地我们规定关于任意正整数$m$，$n$的一种新运算：$h(m + n)=h(m)\cdot h(n)$。比如$h(2)=3$，则$h(4)=h(2 + 2)=3×3=9$。当$h(6)=27$，那么$h(2022)$的结果是（ ）
A. 2022
B. $3^{2022}$
C. $3^{1011}$
D. $3^{1012}$

答案： C
解析：由新运算$h(m + n)=h(m)\cdot h(n)$，$h(6)=h(2 + 2 + 2)=h(2)\cdot h(2)\cdot h(2)=27$，得$h(2)^3=27$，则$h(2)=3$。$h(2022)=h(2×1011)=[h(2)]^{1011}=3^{1011}$。

3. 已知$x = 2^n + 1$，$y = 3 + 2^{n+1}$，用含$x$的代数式表示$y$。

答案： 2x + 1
解析：由$x = 2^n + 1$得$2^n = x - 1$。$y = 3 + 2^{n+1}=3 + 2×2^n=3 + 2(x - 1)=2x + 1$。

4. 一般地，$n$个相同的因数$a$相乘$a\cdot a\cdots a$，记为$a^n$，如$2×2×2 = 2^3 = 8$，此时，3叫作以2为底8的对数，记为$\log_28$（即$\log_28 = 3$）。一般地，若$a^n = b$（$a＞0$且$a\neq1$，$b＞0$），则$n$叫作以$a$为底$b$的对数，记为$\log_ab$（即$\log_ab = n$）。如$3^4 = 81$，则4叫作以3为底81的对数，记为$\log_381$（即$\log_381 = 4$）。
（1）计算下列各对数的值：$\log_24=$______；$\log_216=$______；$\log_264=$______。
（2）观察（1）中三个数4，16，64之间满足怎样的关系式，$\log_24$，$\log_216$，$\log_264$之间又满足怎样的关系式；
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
（4）根据幂的运算法则：$a^m\cdot a^n = a^{m+n}$以及对数的含义说明上述结论。

答案： （1）2；4；6
（2）4×16=64，$\log_24+\log_216=\log_264$
（3）$\log_aM+\log_aN=\log_a(MN)$（$a＞0$且$a\neq1$，$M＞0$，$N＞0$）
（4）设$\log_aM = m$，$\log_aN = n$，则$a^m = M$，$a^n = N$，$MN = a^m\cdot a^n = a^{m+n}$，故$\log_a(MN)=m + n=\log_aM+\log_aN$
解析：（1）$2^2=4\Rightarrow\log_24=2$；$2^4=16\Rightarrow\log_216=4$；$2^6=64\Rightarrow\log_264=6$。
（2）4×16=64，对应的对数和为2+4=6=$\log_264$。
（3）由特殊到一般，归纳出$\log_aM+\log_aN=\log_a(MN)$。
（4）利用对数定义和幂的运算法则证明结论成立。