《2025年评优监测课时作业七年级数学下册苏科版》

1. 若等式$(3x+5)^{2}(3x-5)^{2}=81x^{4}-mx^{2}+n^{2}$成立，则（ ）
A. $m=-30$，$n=5$
B. $m=-30$，$n=-5$或$5$
C. $m=-450$，$n=25$或$-25$
D. $m=450$，$n=25$或$-25$

答案： D
解析：左边$=[(3x+5)(3x-5)]^{2}=(9x^{2}-25)^{2}=81x^{4}-450x^{2}+625$，则$m=450$，$n^{2}=625$，$n=\pm 25$. 故选D.

2. 已知$a+\frac{1}{a}=-2$，则$a^{4}+\frac{1}{a^{4}}=\underline{\quad}$，$a^{4}-\frac{1}{a^{4}}=\underline{\quad}$.

答案： 2，0
解析：$a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=(a+\frac{1}{a})^{2}-2=2$，$a^{4}+\frac{1}{a^{4}}=(a^{2}+\frac{1}{a^{2}})^{2}-2=2$，$a-\frac{1}{a}=0$，则$a^{4}-\frac{1}{a^{4}}=0$.

3. (1)若$a^{2}+ab=7+m$，$b^{2}+ab=9-m$，求$a+b$的值；
(2)若实数$x\neq y$，且$x^{2}-2x+y=0$，$y^{2}-2y+x=0$，求$x+y$的值.

答案：
(1)$\pm 4$；
(2)3
解析：
(1)两式相加得$(a+b)^{2}=16$，则$a+b=\pm 4$；
(2)两式相减得$(x-y)(x+y-3)=0$，$x\neq y$，则$x+y=3$.

4. 阅读下列材料：
若$x$满足$(9-x)(x-4)=4$，求$(4-x)^{2}+(x-9)^{2}$的值.
设$9-x=a$，$x-4=b$，则$(9-x)(x-4)=ab=4$，$a+b=(9-x)+(x-4)=5$，
$\therefore (4-x)^{2}+(x-9)^{2}=(9-x)^{2}+(x-4)^{2}=a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=5^{2}-2× 4=17$.
请仿照上面的方法求解下列问题：
(1)若$x$满足$(5-x)(x-2)=2$，求$(5-x)^{2}+(x-2)^{2}$的值；
(2)已知正方形$ABCD$的边长为$x$，$E,F$分别是$AD,DC$上的点，且$AE=1$，$CF=3$，长方形$EMFD$的面积是$48$，分别以$MF,DF$为边作正方形.
①$MF=\underline{\quad}$，$DF=\underline{\quad}$（用含$x$的式子表示）；
②求阴影部分的面积.

答案：
(1)5；
(2)①$x-1$，$x-3$；②100
解析：
(1)设$5-x=a$，$x-2=b$，$ab=2$，$a+b=3$，则$a^{2}+b^{2}=9-4=5$；
(2)①$MF=AD-AE=x-1$，$DF=DC-CF=x-3$；②$(x-1)(x-3)=48$，解得$x=9$，阴影面积$=(9-1)^{2}+(9-3)^{2}=64+36=100$.