《2025年评优监测课时作业七年级数学下册苏科版》

1. 计算$0.75^{2022}×(-\frac{4}{3})^{2023}$的结果是（ ）
A. $\frac{4}{3}$
B. $-\frac{4}{3}$
C. 0.75
D. -0.75

答案： B
解析：$0.75=\frac{3}{4}$，原式$=(\frac{3}{4})^{2022}×(-\frac{4}{3})^{2023}=(\frac{3}{4})^{2022}×(-\frac{4}{3})^{2022}×(-\frac{4}{3})=[\frac{3}{4}×(-\frac{4}{3})]^{2022}×(-\frac{4}{3})=(-1)^{2022}×(-\frac{4}{3})=-\frac{4}{3}$。

2. 已知$5^m = a$，$9^m = b$，则$15^{2m}=$______。

答案： $a^2b$
解析：$15^{2m}=(3×5)^{2m}=3^{2m}×5^{2m}=(3^2)^m×(5^m)^2=9^m× a^2 = a^2b$。

3. 已知$3^{x + 1}\cdot2^x - 3^x\cdot2^{x + 1}=6^{3x + 4}$，求$x$。

答案： -2
解析：左边提取公因式$3^x\cdot2^x(3 - 2)=6^x$，右边$6^{3x + 4}$，则$6^x = 6^{3x + 4}\Rightarrow x = 3x + 4\Rightarrow -2x = 4\Rightarrow x=-2$。

4. 用简便方法计算：
（1）$0.125^{17}×(-8)^{17}$；
（2）$0.125^{17}×(2^7)^3$。

答案： （1）-1
（2）$2^{-30}$
解析：（1）$0.125^{17}×(-8)^{17}=[0.125×(-8)]^{17}=(-1)^{17}=-1$。
（2）$(2^7)^3 = 2^{21}$，$0.125 = 2^{-3}$，则$0.125^{17}=2^{-51}$，原式$=2^{-51}×2^{21}=2^{-30}$。

5. 若$2^a = 5^b = 10$。
（1）猜想$a + b$与$ab$的大小关系；
（2）证明你的猜想。

答案： （1）$a + b = ab$
（2）证明：由$2^a = 10\Rightarrow2 = 10^{\frac{1}{a}}$，$5^b = 10\Rightarrow5 = 10^{\frac{1}{b}}$，则$2×5 = 10^{\frac{1}{a}}×10^{\frac{1}{b}}=10^{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\Rightarrow10 = 10^{\frac{a + b}{ab}}\Rightarrow\frac{a + b}{ab}=1\Rightarrow a + b = ab$
解析：（1）通过计算特殊值猜想$a + b = ab$。
（2）利用对数定义将指数式化为对数式，再根据幂的运算法则证明等式成立。