《2024年新编高中同步作业高中物理选择性必修第一册人教版》

任务一 利用动量定理解决流体类“柱状模型”问题
活动1 在利用高压水枪清洗汽车时，设水枪喷出水柱截面为圆形，直径为D，水流速度为v，水柱垂直汽车表面，水柱冲击汽车后沿原方向的速度为0。高压水枪的质量为M，手持高压水枪操作，已知水的密度为ρ。试分析水柱对汽车的平均冲力。

答案： 提示：高压水枪单位时间内喷出的水的质量为$m_{0}=\frac{\rho Sv\Delta t}{\Delta t}=\frac{1}{4}\rho v\pi D^{2}$
由动量定理有$F\Delta t = mv$，$m = m_{0}\Delta t$
解得水柱对汽车的平均冲力为$F=\frac{1}{4}\rho v^{2}\pi D^{2}$。

活动2 如果该水枪竖直向上喷出的水柱将一质量为M的卡通玩具稳定地悬停在空中。为计算方便起见，假设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v₀竖直向上喷出；玩具底部为平板（面积略大于S）；水柱冲击到玩具底面后，在竖直方向水的速度变为0，在水平方向朝四周均匀散开。忽略空气阻力。已知水的密度为ρ，重力加速度大小为g。
(1)求喷泉单位时间内喷出的水的质量。
(2)求玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度。

答案： 提示：
(1)设$\Delta t$时间内，从喷口喷出的水的体积为$\Delta V$，质量为$\Delta m$，则
$\Delta m=\rho\Delta V$ ①
$\Delta V = v_{0}S\Delta t$ ②
由①②得，单位时间内从喷口喷出的水的质量为
$\frac{\Delta m}{\Delta t}=\rho v_{0}S$。 ③
(2)设玩具悬停时其底面相对于喷口的高度为$h$，水从喷口喷出后到达玩具底面时的速度大小为$v$。
对于$\Delta t$时间内喷出的水，由机械能守恒得
$\frac{1}{2}\Delta mv^{2}+\Delta mgh=\frac{1}{2}\Delta mv_{0}^{2}$ ④
在$h$高度处，$\Delta t$时间内喷射到玩具底面的水沿竖直方向的动量变化量的大小为
$\Delta p=\Delta mv$ ⑤
设水对玩具的作用力的大小为$F$，根据动量定理有
$F\Delta t=\Delta p$ ⑥
由于玩具在空中悬停，由力的平衡条件得
$F = Mg$ ⑦
联立③④⑤⑥⑦式得$h=\frac{v_{0}^{2}}{2g}-\frac{M^{2}g}{2\rho^{2}v_{0}^{2}S^{2}}$。