《2025年黄冈金牌之路练闯考七年级数学下册北师大版》

1.如图，在△ABC中，AB = AC，将△ABC沿边AC翻折得到△AB'C，射线BA与射线CB'相交于点E，若△AEB'是等腰三角形，则∠B的度数为______.

答案： $\frac{180^{\circ}}{7}$或$36^{\circ}$或$\frac{360^{\circ}}{7}$

2.如图①，在等腰Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，E是边AB上的一动点，将△ACE沿CE折叠得到△DCE，再将边BC折叠到与CD重合，折痕为CF，点F在射线AB上.
(1)如图②，当CD⊥AB时，试说明：DE//BC；
(2)当∠DEF = 50°时，求∠AFC的度数.

答案：
解：
(1)因为$\angle ACB = 90^{\circ},AC = BC,CD\perp AB$，所以$\angle A=\angle B=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ACB)=45^{\circ},\angle BCD=\frac{1}{2}\angle ACB = 45^{\circ}$，所以根据折叠的性质可得$\angle CDE=\angle A = 45^{\circ}=\angle BCD$，所以$DE// BC$
(2)分如下两种情况讨论：
①当点$F$在线段$AB$上时，如答图①，因为将$\triangle ACE$沿$CE$折叠得到$\triangle DCE$，所以$\angle ACE=\angle DCE=\frac{1}{2}\angle ACD,\angle AEC=\angle DEC=\frac{1}{2}(180^{\circ}+\angle DEF)=\frac{1}{2}\times(180^{\circ}+50^{\circ}) = 115^{\circ}$，所以$\angle CEF=\angle CED-\angle DEF=115^{\circ}-50^{\circ}=65^{\circ}$.又因为将边$BC$折叠到与$CD$重合，所以$\angle BCF=\angle DCF=\frac{1}{2}\angle BCD$，所以$\angle ECF=\angle DCE+\angle DCF=\frac{1}{2}(\angle ACD+\angle BCD)=\frac{1}{2}\angle ACB = 45^{\circ}$，所以$\angle AFC=180^{\circ}-\angle CEF-\angle ECF=180^{\circ}-65^{\circ}-45^{\circ}=70^{\circ}$；
②当点$F$在线段$AB$的延长线上时，如答图②，因为将$\triangle ACE$沿$CE$折叠得到$\triangle DCE$，所以$\angle ACE=\angle DCE=\frac{1}{2}\angle ACD,\angle AEC=\angle DEC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle DEF)=\frac{1}{2}\times(180^{\circ}-50^{\circ})=65^{\circ}$，所以$\angle CEF=180^{\circ}-\angle AEC = 115^{\circ}$.又因为将边$BC$折叠到与$CD$重合，所以$\angle BCF=\angle DCF=\frac{1}{2}\angle BCD$，所以$\angle ECF=\angle DCE-\angle DCF=\frac{1}{2}(\angle ACD-\angle BCD)=\frac{1}{2}\angle ACB = 45^{\circ}$，所以$\angle AFC=180^{\circ}-\angle CEF-\angle ECF=180^{\circ}-115^{\circ}-45^{\circ}=20^{\circ}$.综上所述，$\angle AFC$的度数为$70^{\circ}$或$20^{\circ}$

3.如图，小亮和小明分别用尺规作∠AOB的平分线OC，关于两人的作图方法，下列判断正确的是 ( )


A.只有小亮正确
B.只有小明正确
C.两人均正确
D.两人均不正确

答案： C

4.如图，在△ABC中，AB = AC，∠A = 40°，分别以点A，C为圆心，以适当的长为半径画弧，过两弧的交点作直线交AB于点D，连接CD；再按如图所示的方式作射线BP交CD于点P.根据图中尺规作图的痕迹推断以下结论，错误的是 ( )

A.AD = CD
B.∠ABP = ∠CBP
C.∠PBC = ∠A
D.∠BPC = 115°

答案： C

5.如图，小明在以∠A为顶角的等腰三角形ABC中用圆规和直尺作图，作出过点A的射线交BC于点D，然后又作出一条直线与AB交于点E，连接DE，若△BDE的面积为4，则△ABC的面积为______.

答案： 16