《2025年黄冈金牌之路练闯考七年级数学下册北师大版》

1.如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，BD平分∠ABC，AB=3，BC=6，CD=4，求四边形ABCD的面积.

答案： 解：过点D作DE⊥BA交BA的延长线于点E.因为BD平分∠ABC，∠C = 90°，DE⊥BA，所以DE = DC = 4，所以$S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}AB\cdot DE+\frac{1}{2}BC\cdot CD=\frac{1}{2}\times3\times4+\frac{1}{2}\times6\times4 = 18$

2.如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD=180°，试说明：CD=BD.

答案： 解：过点D分别作DM⊥AC于点M，DN⊥AB于点N，则∠CMD = ∠BND = 90°.又因为AD是∠EAF的平分线，所以DM = DN.因为∠ACD + ∠ABD = 180°，∠ACD + ∠MCD = 180°，所以∠MCD = ∠ABD.在△CDM和△BDN中，因为$\begin{cases}\angle CMD=\angle BND\\\angle MCD=\angle NBD\\DM = DN\end{cases}$，所以△CDM≌△BDN(AAS)，所以CD = BD

3.（郑州期末）如图，D是△ABC内的一点，且BD平分∠ABC，AD⊥BD，连接CD，若△BCD的面积为16，求△ABC的面积.

答案： 解：延长AD交BC于点E.因为BD平分∠ABC，AD⊥BD，所以∠ABD = ∠EBD，∠BDA = ∠BDE = 90°.又因为BD = BD，所以△BDA≌△BDE(ASA)，所以AD = DE，$S_{\triangle BDA}=S_{\triangle BDE}$，所以$S_{\triangle CAD}=S_{\triangle CDE}$，所以$S_{\triangle BDA}+S_{\triangle CAD}=S_{\triangle BDE}+S_{\triangle CDE}=S_{\triangle BCD}$，所以$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle BDA}+S_{\triangle CAD}+S_{\triangle BDE}+S_{\triangle CDE}=2S_{\triangle BCD}=2\times16 = 32$

4.如图，在△ABC中，AB＞AC，AD为角平分线，P为AD上的任意一点，连接PB，PC，试说明：AB - AC＞PB - PC.

答案： 解：在AB上截取AE = AC，连接PE，则BE = AB - AE = AB - AC.因为AD为△ABC的角平分线，所以∠BAD = ∠CAD.在△APC和△APE中，因为$\begin{cases}AC = AE\\\angle CAP=\angle EAP\\AP = AP\end{cases}$，所以△APC≌△APE(SAS)，所以CP = EP.又因为在△BPE中，BE＞PB - EP，所以AB - AC＞PB - PC