《2025年黄冈金牌之路练闯考七年级数学下册北师大版》

5.如图,$\angle ABD$,$\angle CDB$的平分线交于AC上的一点E,且$\angle BED = 90^{\circ}$,试说明$BD = AB + CD$.

答案： 解：在BD上截取FB = AB，连接EF. 因为BE，DE分别平分∠ABD，∠CDB，所以∠ABE = ∠FBE，∠CDE = ∠FDE. 又因为AB = FB，BE = BE，所以△ABE≌△FBE(SAS)，所以∠A = ∠BFE，∠AEB = ∠FEB. 又因为∠BED = 90°，所以∠FEB + ∠FED = 90°，∠AEB + ∠CED = 90°，所以∠FED = ∠CED. 又因为DE = DE，∠FDE = ∠CDE，所以△DEF≌△DEC(ASA)，所以FD = CD，所以BD = FB + FD = AB + CD.

6.如图,在五边形ABCDE中,$AB = AE$,$BC + DE = CD$,$\angle B+\angle E = 180^{\circ}$,试说明:AD平分$\angle CDE$.

答案： 解：连接AC，延长DE至点F，使EF = BC，连接AF，因为BC + DE = CD，EF + DE = DF，所以CD = FD. 因为∠B + ∠AED = 180°，∠AEF + ∠AED = 180°，所以∠B = ∠AEF. 在△ABC和△AEF中，因为$\begin{cases}AB = AE,\\\angle B=\angle AEF,\\BC = EF,\end{cases}$所以△ABC≌△AEF(SAS)，所以AC = AF. 在△ACD和△AFD中，因为$\begin{cases}AC = AF,\\CD = FD,\\AD = AD,\end{cases}$所以△ACD≌△AFD(SSS)，所以∠ADC = ∠ADF，所以AD平分∠CDE.

7.如图,$AB\perp AC$,且$AB = AC$,$AD\perp CD$,E是CD上的一点,且$DE = AD$,连接BE,延长AD交BE于点F,试说明:$EF = BF$.

答案： 解：过点B作BG⊥AF交AF的延长线于点G. 因为AB⊥AC，AD⊥CD，所以∠ADC = ∠FDE = 90° = ∠BGA，∠BAG + ∠CAD = 90°，∠CAD + ∠C = 90°，所以∠BAG = ∠C. 在△ABG和△CAD中，因为$\begin{cases}\angle BGA=\angle ADC,\\\angle BAG=\angle C,\\AB = CA,\end{cases}$所以△ABG≌△CAD(AAS)，所以BG = AD = DE. 在△BFG和△EFD中，因为$\begin{cases}\angle BGF=\angle EDF,\\\angle BFG=\angle EFD,\\BG = ED,\end{cases}$所以△BFG≌△EFD(AAS)，所以BF = EF.

8.如图,点A在直线l上,$AB\perp AC$,$AB = AC$,$AD\perp AE$,$AD = AE$,连接BD,CE,$BD\perp l$于点F,$CE$交直线l于点G,试说明:G是CE的中点.

答案： 解：分别过点C，E作CM⊥l于点M，EN⊥l于点N. 因为AB⊥AC，BD⊥l，所以∠BFA = ∠AMC = 90°，∠B + ∠BAF = ∠BAF + ∠CAM = 90°，所以∠B = ∠CAM. 又因为AB = AC，所以△ABF≌△CAM(AAS)，所以AF = CM. 同理可得△ADF≌△EAN(AAS)，所以EN = AF = CM. 又因为∠CMG = ∠ENG = 90°，∠CGM = ∠EGN，所以△CMG≌△ENG(AAS)，所以CG = EG，所以G是CE的中点.