《2025年黄冈金牌之路练闯考七年级数学下册北师大版》

5.先化简，再求值：
(1)$[(x + 2y)^{2}-(x + y)(3x - y)-5y^{2}]\div 2x$，其中$x = - 2$，$y = 1$；
(2)思想方法 整体思想 $(x + 3y)(x - 3y)-(2x - y)^{2}-y(3x - 7y)$，其中$x + y = 3$，$xy = 1$.

答案： 解:
(1)原式=[x²+4,xy+4y²−(3x²−xy+3.xy−y²)−5y²]÷2x=(x²+4xy+4y²−3x²+xy−3xy+y²−5y²)÷2x=(2xy−2x²)÷2x=y−x,当x=−2,y=1时,原式=1−(−2)=3　
(2)原式=(x²−9y²)−(4x²−4xy+y²)−3xy+7y²=x²²−9y²−4x²+4xy−y²−3xy+7y²=−3x²+xy−3y²²,因为x+y=3,xy=1,所以x²+y²=(x+y)²−2xy=3²−2×1=9−2=7,所以原式=−3(x²+y²²)+xy=−3×7+1=−20

6.若$(x^{2}+nx - 5)(x^{2}-x - m)$的展开式中不含$x^{3}$，$x^{2}$项(其中$m$，$n$均为常数).
(1)求$m$，$n$的值；
(2)先化简$A = 4(m - n)^{2}-(2m + n)(-n + 2m)$，然后在(1)的条件下求$A$的值.

答案： 解:
(1)(x²+nx−5)(x²−x−m)=x²−x²−mx²+nx²−nx²−mnx−5x²+5x+5m=x²+(n−1)x²−(m+n+5)x²+(5−mn)x+5m,由题意可知n−1=0,m+n+5=0,所以m=−6,n=1　
(2)A=4(m²−2mn+n²)−(4m²−n²)=4m²−8mn+4n²−4m²+n²=5n²−8mn,当m=−6,n=1 时,A=5×1²−8×(−6)×1=53

7.新教改 思考交流 杨老师在黑板上布置了一道题，小白和小红展开了下面的讨论：

根据上述情景，你认为谁说得对？为什么？并求出代数式的值.

答案： 解:小红说得对,理由如下:因为(x+2y)(x−2y)−(x+3y)²+6xy=x²−4y²−(x²+6xy+9y²)+6xy=x²−4y²−x²−6.xy−9y²+6.xy=−13y²,所以这道题与x的值无关，是可以解的.当y=−1时,(x+2y)(x−2y)−(x+3y)²+6.xy=−13y²=−13×(−1)²=−13

8.新课标 代数推理 发现 两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.
验证 如：$(2 + 1)^{2}+(2 - 1)^{2}=10$为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和；
探究 设“发现”中的两个已知正整数为$m$，$n$，请论证“发现”中的结论正确.

答案： 解:验证:10的一半为5,5=1+4=1²+2²　探究:因为(m十n)²+(m−n)²=m²+2mn+n²+m²−2mn+n²=2m²+2n²=2(m²+n²),所以两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和