《2025年黄冈金牌之路练闯考七年级数学下册北师大版》

8.计算2 024×2 026 - 2 025²的结果为 ( )
A.-1
B.1
C.2 025
D.-2 025

答案： A

9.思想方法 整体思想已知(x + 2)(x - 2) - 2x = 1，则2x² - 4x + 3的值为 ( )
A.13
B.8
C.-3
D.5

答案： A

10.已知n为正整数，则(4n + 3)(4n - 3) - (3n + 4)(3n - 4)的值一定能整除 ( )
A.3
B.4
C.6
D.7

答案： D

11.思想方法 整体思想若(2a + 2b + 1)(2a + 2b - 1) = 3，则a + b的值为______.

答案： ±1

【易错变式】若(m² + 2n² + 3)(m² + 2n² - 3) = 16，则m² + 2n²的值为______.

答案： 5

12.已知a² - b² = 1，则(a + b)²⁰²⁵(b - a)²⁰²⁵的值为______.

答案： −1

13.(8分)(1)解方程：3(x + 2)(x - 2) - (x - 1)(3x + 4) = -5；
(2)思想方法 整体思想已知5x² - x - 1 = 0，求代数式(3x + 2)(3x - 2) + x(x - 2)的值.

答案： 解:
(1)3(x²−4)−(3x²+x−4)=−5,3x²−12−3x²−x+4=−5,−x−8=−5,x=−3　　
(2)因为5x²−x−1=0,所以5x²−x=1,所以(3x+2)(3x - 2)+x(x−2)=9x²−4+x²−2x=10x²−2x−4=2(5x²−x)−4=2×1−4=−2

14.(8分)某中学为了响应国家“发展体育运动，增强人民体质”的号召，决定建一个长方体游泳池，已知要建的游泳池的长为(4a² + 9b²)m，宽为(2a + 3b)m，深为(2a - 3b)m，请你计算一下这个游泳池的容积是多少.

答案： 解:这个游泳池的容积是(4a²+9b²)(2a + 3b)(2a−3b)=(4a²+9b²)[(2a)²−(3b)²]=(4a²+9b²)(4a²−9b²)=(4a²)²−(9b²)²=(16a⁴−81b⁴)(m³)

15.(14分)核心素养 抽象能力(1)如图①，将一个平行四边形沿虚线剪切成四个完全一样的等腰梯形，用这四个等腰梯形可以拼成图②(图②的形状为从边长为a的大正方形中挖去一个边长为b的小正方形)，比较两图的阴影部分的面积，你可以得到的乘法公式为__________________(用式子表达)；
(2)运用(1)中你所得的乘法公式计算：(1 - \frac{1}{2²})×(1 - \frac{1}{3²})×(1 - \frac{1}{4²})×(1 - \frac{1}{5²})×…×(1 - \frac{1}{2 024²})×(1 - \frac{1}{2 025²}).

答案： 解:
(1)(a+b)(a−b)=a²−b²　
(2)原式=(1−$\frac{1}{2}$)(1+$\frac{1}{2}$)(1−$\frac{1}{3}$)(1+$\frac{1}{3}$)×…×(1−$\frac{1}{2025}$)(1+$\frac{1}{2025}$)=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{4}{3}$×...×$\frac{2024}{2025}$×$\frac{2026}{2025}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{2026}{2025}$=$\frac{1013}{2025}$