搜索
【变式】已知关于$x$的方程$\frac{1}{x - 2}+3=\frac{k - x}{2 - x}$.
(1)当$k = 3$时，求该方程的解；
(2)若方程有增根，求$k$的值.
(1)当$k = 3$时，求该方程的解；
(2)若方程有增根，求$k$的值.
答案：
解：
(1)把k = 3代入原方程，得$\frac{1}{x - 2}+3=\frac{3 - x}{2 - x}$.
去分母，得1+3(x - 2)=x - 3. 解得x = 1.
经检验，x = 1是原方程的解.
所以当k = 3时，原方程的解为x = 1.
(2)原方程两边同乘(x - 2)，得1+3x - 6=x - k.
由分式方程有增根，得x - 2 = 0，即x = 2.
把x = 2代入1+3x - 6=x - k，得2 - k = 1. 解得k = 1.
(1)把k = 3代入原方程，得$\frac{1}{x - 2}+3=\frac{3 - x}{2 - x}$.
去分母，得1+3(x - 2)=x - 3. 解得x = 1.
经检验，x = 1是原方程的解.
所以当k = 3时，原方程的解为x = 1.
(2)原方程两边同乘(x - 2)，得1+3x - 6=x - k.
由分式方程有增根，得x - 2 = 0，即x = 2.
把x = 2代入1+3x - 6=x - k，得2 - k = 1. 解得k = 1.
4 已知关于$x$的分式方程$\frac{m + x - 1}{x}-\frac{3m + 1}{x + 1}=1$.
(1)当$m = - 1$时，这个分式方程是否有解？请说明理由.
(2)若这个分式方程有解，求$m$的取值范围.
(1)当$m = - 1$时，这个分式方程是否有解？请说明理由.
(2)若这个分式方程有解，求$m$的取值范围.
答案：
解：
(1)当m = - 1时，这个分式方程无解.
理由：当m = - 1时，方程为$\frac{x - 2}{x}-\frac{-2}{x + 1}=1$.
去分母，得x² - x - 2+2x=x²+x.
因为这个整式方程无解，
所以当m = - 1时，原分式方程无解.
(2)分式方程$\frac{m + x - 1}{x}-\frac{3m + 1}{x + 1}=1$两边同乘x(x + 1)，
得(m + x - 1)(x + 1)-x(3m + 1)=x(x + 1).
整理，得2(m + 1)x=m - 1.
因为这个分式方程有解，
所以m≠-1，x=$\frac{m - 1}{2m + 2}$，
所以$\frac{m - 1}{2m + 2}≠0$，且$\frac{m - 1}{2m + 2}≠-1$，
解得m≠1，且m≠-$\frac{1}{3}$.
所以m的取值范围是m≠±1，且m≠-$\frac{1}{3}$.
(1)当m = - 1时，这个分式方程无解.
理由：当m = - 1时，方程为$\frac{x - 2}{x}-\frac{-2}{x + 1}=1$.
去分母，得x² - x - 2+2x=x²+x.
因为这个整式方程无解，
所以当m = - 1时，原分式方程无解.
(2)分式方程$\frac{m + x - 1}{x}-\frac{3m + 1}{x + 1}=1$两边同乘x(x + 1)，
得(m + x - 1)(x + 1)-x(3m + 1)=x(x + 1).
整理，得2(m + 1)x=m - 1.
因为这个分式方程有解，
所以m≠-1，x=$\frac{m - 1}{2m + 2}$，
所以$\frac{m - 1}{2m + 2}≠0$，且$\frac{m - 1}{2m + 2}≠-1$，
解得m≠1，且m≠-$\frac{1}{3}$.
所以m的取值范围是m≠±1，且m≠-$\frac{1}{3}$.
【变式】若关于$x$的分式方程$\frac{1}{x - 2}+\frac{ax - 2}{2 - x}=1$有解，则$a$的取值范围是 ( )
A.$a\neq\frac{3}{2}$
B.$a\neq - 1$
C.$a = - 1$
D.$a\neq\frac{3}{2}$且$a\neq - 1$
A.$a\neq\frac{3}{2}$
B.$a\neq - 1$
C.$a = - 1$
D.$a\neq\frac{3}{2}$且$a\neq - 1$
答案：
D 解析：将方程$\frac{1}{x - 2}+\frac{ax - 2}{2 - x}=1$去分母，得1-(ax - 2)=x - 2. 去括号，得1 - ax+2=x - 2. 移项，得-ax - x=-2 - 2 - 1. 合并同类项，得-(a + 1)x=-5.
∵关于x的分式方程$\frac{1}{x - 2}+\frac{ax - 2}{2 - x}=1$有解，
∴$\begin{cases}a + 1≠0,\\x - 2≠0,\end{cases}$
∴$\begin{cases}a + 1≠0,\\-2(a + 1)≠-5,\end{cases}$
∴a≠$\frac{3}{2}$且a≠-1. 故选D.
∵关于x的分式方程$\frac{1}{x - 2}+\frac{ax - 2}{2 - x}=1$有解，
∴$\begin{cases}a + 1≠0,\\x - 2≠0,\end{cases}$
∴$\begin{cases}a + 1≠0,\\-2(a + 1)≠-5,\end{cases}$
∴a≠$\frac{3}{2}$且a≠-1. 故选D.
5 [2024·浙江杭州期末]已知关于$x$的分式方程$\frac{2}{1 - x}=\frac{mx}{x - 1}-2$.
(1)当$m = - 1$时，求这个分式方程的解；
(2)若此分式方程无解，求$m$的值.
(1)当$m = - 1$时，求这个分式方程的解；
(2)若此分式方程无解，求$m$的值.
答案：
解：
(1)把m = - 1代入分式方程，得$\frac{2}{1 - x}=\frac{-x}{x - 1}-2$.
整理，得$\frac{2}{1 - x}=\frac{x}{1 - x}-2$.
去分母，得2=x - 2(1 - x).
去括号，得2=x - 2+2x.
移项，合并同类项，得3x = 4，
解得x=$\frac{4}{3}$.
检验，把x=$\frac{4}{3}$代入1 - x，得1 - $\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}≠0$，
∴x=$\frac{4}{3}$是原分式方程的解.
(2)去分母，得-2=mx - 2(x - 1)，即(m - 2)x=-4.
若m - 2 = 0，则m = 2，此时方程无解，即分式方程无解；
若m - 2≠0，则m≠2.
∵分式方程无解，
∴x - 1 = 0，即x = 1.
把x = 1代入整式方程(m - 2)x=-4，得m = - 2.
综上所述，m = 2或m = - 2.
(1)把m = - 1代入分式方程，得$\frac{2}{1 - x}=\frac{-x}{x - 1}-2$.
整理，得$\frac{2}{1 - x}=\frac{x}{1 - x}-2$.
去分母，得2=x - 2(1 - x).
去括号，得2=x - 2+2x.
移项，合并同类项，得3x = 4，
解得x=$\frac{4}{3}$.
检验，把x=$\frac{4}{3}$代入1 - x，得1 - $\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}≠0$，
∴x=$\frac{4}{3}$是原分式方程的解.
(2)去分母，得-2=mx - 2(x - 1)，即(m - 2)x=-4.
若m - 2 = 0，则m = 2，此时方程无解，即分式方程无解；
若m - 2≠0，则m≠2.
∵分式方程无解，
∴x - 1 = 0，即x = 1.
把x = 1代入整式方程(m - 2)x=-4，得m = - 2.
综上所述，m = 2或m = - 2.
【变式1】若关于$x$的分式方程$\frac{x + 3}{x - 5}=2-\frac{m}{5 - x}$无解，则$m$的值为 ( )
A.4
B.5
C.6
D.8
A.4
B.5
C.6
D.8
答案：
D 解析：将方程去分母，得x + 3=2(x - 5)+m，即x = 13 - m.
∵分式方程$\frac{x + 3}{x - 5}=2-\frac{m}{5 - x}$无解，
∴x = 5. 将x = 5代入x = 13 - m，解得m = 8. 故选D.
∵分式方程$\frac{x + 3}{x - 5}=2-\frac{m}{5 - x}$无解，
∴x = 5. 将x = 5代入x = 13 - m，解得m = 8. 故选D.
【变式2】若关于$x$的分式方程$3+\frac{2 - kx}{x - 3}=\frac{1}{3 - x}$无解，求$k$的值.
答案：
解：去分母，得3(x - 3)+2 - kx=-1.
整理，得(3 - k)x = 6.
当3 - k = 0，即k = 3时，整式方程无解；
当3 - k≠0时，x=$\frac{6}{3 - k}=3$，解得k = 1.
综上所述，k的值为3或1.
整理，得(3 - k)x = 6.
当3 - k = 0，即k = 3时，整式方程无解；
当3 - k≠0时，x=$\frac{6}{3 - k}=3$，解得k = 1.
综上所述，k的值为3或1.
查看更多完整答案，请扫码查看
