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12 计算:
(1)$(y^{2m + 3})^{2}\div y^{m - 1}-y^{m + 1}\cdot (-2y^{m + 3})^{2}$;
(2)$x^{2}\cdot x^{7}+x^{12}\div x^{8}\cdot x^{6}-x^{m + 6}\div x^{m - 4}$;
(3)$-10^{2n}\times 100\div (-10)^{2n - 1}$.
(1)$(y^{2m + 3})^{2}\div y^{m - 1}-y^{m + 1}\cdot (-2y^{m + 3})^{2}$;
(2)$x^{2}\cdot x^{7}+x^{12}\div x^{8}\cdot x^{6}-x^{m + 6}\div x^{m - 4}$;
(3)$-10^{2n}\times 100\div (-10)^{2n - 1}$.
答案：
解：
(1)原式$=y^{4m+6 - m - 1}-y^{m + 1}\cdot4y^{2m + 6}=y^{3m + 7}-4y^{3m + 7}=-3y^{3m + 7}$.
(2)原式$=x^{9}+x^{10}-x^{10}=x^{9}$.
(3)原式$=-10^{2n}\times10^{2}\div(-10^{2n - 1})=10^{2n+2 - 2n + 1}=10^{3}$.
(1)原式$=y^{4m+6 - m - 1}-y^{m + 1}\cdot4y^{2m + 6}=y^{3m + 7}-4y^{3m + 7}=-3y^{3m + 7}$.
(2)原式$=x^{9}+x^{10}-x^{10}=x^{9}$.
(3)原式$=-10^{2n}\times10^{2}\div(-10^{2n - 1})=10^{2n+2 - 2n + 1}=10^{3}$.
13 某银行去年新增居民存款3亿元人民币.
(1)经测量,100张面值为100元的新版人民币大约厚0.9 cm,如果将总额为3亿元的这种纸币摞起来,大约有多高? (结果用科学记数法表示)
(2)一台激光点钞机的点钞速度是$6\times 10^{4}$张/时,按每天点钞5小时计算,如果让点钞机点一遍总额为3亿元的这种纸币,点钞机大约要点多少天? (按每张面值为100元计算)
(1)经测量,100张面值为100元的新版人民币大约厚0.9 cm,如果将总额为3亿元的这种纸币摞起来,大约有多高? (结果用科学记数法表示)
(2)一台激光点钞机的点钞速度是$6\times 10^{4}$张/时,按每天点钞5小时计算,如果让点钞机点一遍总额为3亿元的这种纸币,点钞机大约要点多少天? (按每张面值为100元计算)
答案：
解：
(1)因为$300000000\div100\div100\times0.9 = 27000 = 2.7\times10^{4}(cm)$，所以将总额为3亿元的这种纸币摞起来，大约有$2.7\times10^{4}cm$高.
(2)因为$300000000\div100\div(6\times10^{4}\times5)=(3\times10^{6})\div(6\times10^{4}\times5)=10(天)$，所以点钞机大约要点10天.
(1)因为$300000000\div100\div100\times0.9 = 27000 = 2.7\times10^{4}(cm)$，所以将总额为3亿元的这种纸币摞起来，大约有$2.7\times10^{4}cm$高.
(2)因为$300000000\div100\div(6\times10^{4}\times5)=(3\times10^{6})\div(6\times10^{4}\times5)=10(天)$，所以点钞机大约要点10天.
14 若$a^{m - n}\div a\div a = a^{2}$,且$2m + n = 2$,求$3m - 4n$的值.
答案：
解：$\because a^{m - n}\div a\div a=a^{2}$，$\therefore m - n - 1 - 1 = 2$，$\therefore m - n = 4$. 又$2m + n = 2$，$\therefore m = 2$，$n=-2$，$\therefore3m - 4n = 14$.
15 [2023·浙江杭州期末]已知实数$a,b,c$满足$2^{a}=5,2^{b}=10,2^{c}=80$,求$2019a - 4039b + 2020c$的值.
答案：
解：$2019a - 4039b + 2020c=2019a - 2019b - 2020b + 2020c=-2019(b - a)+2020(c - b)$. 因为$2^{a}=5$，$2^{b}=10$，$2^{c}=80$，所以$2^{b}\div2^{a}=2^{1}$，$2^{c}\div2^{b}=8 = 2^{3}$，所以$b - a = 1$，$c - b = 3$，所以原式$=-2019\times1+2020\times3=-2019 + 6060 = 4041$.
16 已知$2^{a}\cdot 5^{b}=2^{c}\cdot 5^{d}=10$,求证:$(a - 1)(d - 1)=(b - 1)(c - 1)$.
答案：
证明：$\because2^{a}\cdot5^{b}=10 = 2\times5$，$\therefore2^{a - 1}\cdot5^{b - 1}=(2^{a}\div2)\cdot(5^{b}\div5)=1$，$\therefore(2^{a - 1}\cdot5^{b - 1})^{d - 1}=1^{d - 1}=1$. ①
同理可证$(2^{c - 1}\cdot5^{d - 1})^{b - 1}=1^{b - 1}=1$. ②
由①②两式，得$2^{(a - 1)(d - 1)}\cdot5^{(b - 1)(d - 1)}=2^{(c - 1)(b - 1)}\cdot5^{(d - 1)(b - 1)}$，即$2^{(a - 1)(d - 1)}=2^{(c - 1)(b - 1)}$，$\therefore(a - 1)(d - 1)=(b - 1)(c - 1)$.
同理可证$(2^{c - 1}\cdot5^{d - 1})^{b - 1}=1^{b - 1}=1$. ②
由①②两式，得$2^{(a - 1)(d - 1)}\cdot5^{(b - 1)(d - 1)}=2^{(c - 1)(b - 1)}\cdot5^{(d - 1)(b - 1)}$，即$2^{(a - 1)(d - 1)}=2^{(c - 1)(b - 1)}$，$\therefore(a - 1)(d - 1)=(b - 1)(c - 1)$.
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