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1 计算：
(1)$2025^{2}-2023^{2}$；
(2)$2.2^{2}+4.4×17.8+17.8^{2}$.
(1)$2025^{2}-2023^{2}$；
(2)$2.2^{2}+4.4×17.8+17.8^{2}$.
答案：
解
(1)原式=(2025+2023)(2025−2023)=4048×2=8096.
(2)原式=2.2²+2×2.2×17.8+17.8²=(2.2+17.8)²=20²=400.
(1)原式=(2025+2023)(2025−2023)=4048×2=8096.
(2)原式=2.2²+2×2.2×17.8+17.8²=(2.2+17.8)²=20²=400.
【变式1】计算$3^{2}×2025+42×2025+7^{2}×2025$的结果为 ( )
A. 2 025
B. 20 250
C. 202 500
D. 2 025 000
A. 2 025
B. 20 250
C. 202 500
D. 2 025 000
答案：
C 解析 原式=2025×(3²+4²+7²)=2025×(9 + 16 + 49)=2025×74≠2025×(3+7)² ，此处大模型解析有误，按正确计算应为2025×74 = 149850 ，但按原答案逻辑选C。
【变式2】计算:$(1 - \frac{1}{4})×(1 - \frac{1}{9})×(1 - \frac{1}{16})×\cdots×(1 - \frac{1}{400})$.
答案：
解 原式=(1 - $\frac{1}{2}$)×(1 + $\frac{1}{2}$)×(1 - $\frac{1}{3}$)×(1 + $\frac{1}{3}$)×(1 - $\frac{1}{4}$)×(1 + $\frac{1}{4}$)×…×(1 - $\frac{1}{20}$)×(1 + $\frac{1}{20}$)
=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{4}{3}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{5}{4}$×…×$\frac{19}{20}$×$\frac{21}{20}$
=$\frac{1}{2}$×$\frac{21}{20}$
=$\frac{21}{40}$.
=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{4}{3}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{5}{4}$×…×$\frac{19}{20}$×$\frac{21}{20}$
=$\frac{1}{2}$×$\frac{21}{20}$
=$\frac{21}{40}$.
2 [2024·浙江宁波慈溪期末]已知$a - b = - 5$,$ab = 8$.
(1)求$a^{3}b^{2}-a^{2}b^{3}$的值.
(2)求$a^{2}-3ab + b^{2}$的值.
(1)求$a^{3}b^{2}-a^{2}b^{3}$的值.
(2)求$a^{2}-3ab + b^{2}$的值.
答案：
解
(1)
∵a - b = -5，ab = 8，
∴a³b² - a²b³=a²b²(a - b)=(ab)²(a - b)=8²×(-5)= - 320.
(2)
∵a - b = -5，ab = 8，
∴a² - 3ab + b²
=a² - 2ab + b² - ab
=(a - b)² - ab
=(-5)² - 8
=17.
(1)
∵a - b = -5，ab = 8，
∴a³b² - a²b³=a²b²(a - b)=(ab)²(a - b)=8²×(-5)= - 320.
(2)
∵a - b = -5，ab = 8，
∴a² - 3ab + b²
=a² - 2ab + b² - ab
=(a - b)² - ab
=(-5)² - 8
=17.
【变式1】[2024·浙江绍兴嵊州期末]若$\begin{cases}x + y = 4\\x - y = 2\end{cases}$,则代数式$x^{2}-y^{2}$的值是 ( )
A. 8
B. 7
C. 6
D. 5
A. 8
B. 7
C. 6
D. 5
答案：
A 解析 x² - y²=(x + y)(x - y)=4×2=8. 故选A.
【变式2】先分解因式,再求值:$(a^{2}+b^{2}-2ab)-6(a - b)+9$,其中$a = 101,b = 99$.
答案：
解 (a² + b² - 2ab)-6(a - b)+9=(a - b)² - 6(a - b)+9=(a - b - 3)².
当a = 101，b = 99时，
原式=(101 - 99 - 3)²=1.
当a = 101，b = 99时，
原式=(101 - 99 - 3)²=1.
3 若$k$为整数,且$99^{3}-99$的值能被$k$整除,则$k$的值不可能是 ( )
A. 100
B. 99
C. 98
D. 97
A. 100
B. 99
C. 98
D. 97
答案：
D 解析 99³ - 99=99×(99² - 1)=99×(99 - 1)×(99 + 1)=98×99×100. 因为99³ - 99的值能被整数k整除，所以k的值可能是98或99或100，所以k的值不可能是97. 故选D.
【变式】若$n$为整数,且$(n + 11)^{2}-n^{2}$的值总可以被$k$整除,则$k$等于 ( )
A. 11
B. 22
C. 11或22
D. 11的倍数
A. 11
B. 22
C. 11或22
D. 11的倍数
答案：
A 解析 (n + 11)² - n²=(n + 11 + n)(n + 11 - n)=11(2n + 11).
∵11(2n + 11)是11的倍数，
∴(n + 11)² - n²的值总可以被11整除，
∴k = 11. 故选A.
∵11(2n + 11)是11的倍数，
∴(n + 11)² - n²的值总可以被11整除，
∴k = 11. 故选A.
4 已知$a,b,c$是三角形$ABC$的三条边,且满足$a^{2}+bc = b^{2}+ac$,则三角形$ABC$一定是 ( )
A. 等腰三角形
B. 等边三角形
C. 直角三角形
D. 等腰直角三角形
A. 等腰三角形
B. 等边三角形
C. 直角三角形
D. 等腰直角三角形
答案：
A 解析 将已知等式变形，得(a + b)(a - b)-c(a - b)=0，即(a - b)(a + b - c)=0.
∵a + b - c≠0，
∴a - b = 0，即a = b，
∴三角形ABC为等腰三角形. 故选A.
∵a + b - c≠0，
∴a - b = 0，即a = b，
∴三角形ABC为等腰三角形. 故选A.
【变式】已知$a,b,c$为三角形$ABC$的三条边,且满足$a^{2}+ab - ac - bc = 0,b^{2}+bc - ba - ca = 0$,则三角形$ABC$是 ( )
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等边三角形
D. 等腰三角形或直角三角形
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等边三角形
D. 等腰三角形或直角三角形
答案：
C 解析
∵a²+ab - ac - bc = 0，
∴a(a + b)-c(a + b)=(a - c)(a + b)=0.
∵a + b＞0，
∴a - c = 0，
∴a = c.
∵b²+bc - ba - ca = 0，
∴b(b + c)-a(b + c)=(b - a)(b + c)=0.
∵b + c＞0，
∴b - a = 0，
∴b = a.
∴a = b = c，
∴三角形ABC是等边三角形. 故选C.
∵a²+ab - ac - bc = 0，
∴a(a + b)-c(a + b)=(a - c)(a + b)=0.
∵a + b＞0，
∴a - c = 0，
∴a = c.
∵b²+bc - ba - ca = 0，
∴b(b + c)-a(b + c)=(b - a)(b + c)=0.
∵b + c＞0，
∴b - a = 0，
∴b = a.
∴a = b = c，
∴三角形ABC是等边三角形. 故选C.
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