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11 已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x - y = 4a - 3,\\x + 2y = -5a.\end{cases}$
(1)若用含$a$的代数式表示它的解,则$x=$________,$y=$________.
(2)若$x,y$互为相反数,求$a$的值.
(3)若$2^{x}\cdot8^{y}=2^{m}$,用含有$a$的代数式表示$m$.
(1)若用含$a$的代数式表示它的解,则$x=$________,$y=$________.
(2)若$x,y$互为相反数,求$a$的值.
(3)若$2^{x}\cdot8^{y}=2^{m}$,用含有$a$的代数式表示$m$.
答案：
解
(1)$a - 2$ $-3a + 1$ 提示:$\begin{cases}x - y = 4a-3,①\\x + 2y=-5a.②\end{cases}$
由② - ①并整理,得$y=-3a + 1$.
把$y=-3a + 1$代入①并整理,得$x = a - 2$.
(2)由题意,得$a - 2+(-3a + 1)=0$,解得$a=-\frac{1}{2}$.
(3)$2^{x}\cdot8^{y}=2^{x}\cdot(2^{3})^{y}=2^{x}\cdot2^{3y}=2^{x + 3y}$.
由题意,得$x + 3y = m$,
则$m = a - 2+3(-3a + 1)=-8a + 1$.
(1)$a - 2$ $-3a + 1$ 提示:$\begin{cases}x - y = 4a-3,①\\x + 2y=-5a.②\end{cases}$
由② - ①并整理,得$y=-3a + 1$.
把$y=-3a + 1$代入①并整理,得$x = a - 2$.
(2)由题意,得$a - 2+(-3a + 1)=0$,解得$a=-\frac{1}{2}$.
(3)$2^{x}\cdot8^{y}=2^{x}\cdot(2^{3})^{y}=2^{x}\cdot2^{3y}=2^{x + 3y}$.
由题意,得$x + 3y = m$,
则$m = a - 2+3(-3a + 1)=-8a + 1$.
12 (核心素养·运算能力、推理能力)观察下列式子:
①$2^{1}-2^{0}=2 - 1 = 1 = 2^{0}$;
②$2^{2}-2^{1}=4 - 2 = 2 = 2^{1}$;
③$2^{3}-2^{2}=8 - 4 = 4 = 2^{2}$;
……
根据上述等式的规律:
(1)试写出第$n$个等式,并说明第$n$个等式成立.
(2)求$2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots+2^{2023}$的个位数字.
①$2^{1}-2^{0}=2 - 1 = 1 = 2^{0}$;
②$2^{2}-2^{1}=4 - 2 = 2 = 2^{1}$;
③$2^{3}-2^{2}=8 - 4 = 4 = 2^{2}$;
……
根据上述等式的规律:
(1)试写出第$n$个等式,并说明第$n$个等式成立.
(2)求$2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots+2^{2023}$的个位数字.
答案：
解
(1)由题意可得,第$n$个等式是$2^{n}-2^{n - 1}=2^{n - 1}$.
理由:$2^{n}-2^{n - 1}=2^{n - 1}\times(2 - 1)=2^{n - 1}\times1 = 2^{n - 1}$.
(2)$2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots+2^{2023}=(2^{1}-2^{0})+(2^{2}-2^{1})+(2^{3}-2^{2})+\cdots+(2^{2024}-2^{2023})=2^{1}-2^{0}+2^{2}-2^{1}+2^{3}-2^{2}+\cdots+2^{2024}-2^{2023}=2^{2024}-1=(2^{4})^{506}-1 = 16^{506}-1$.
$\because16$的任何正整数次幂的个位数字都是$6$,
$\therefore16^{506}-1$的个位数字是$5$,
即$2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots+2^{2023}$的个位数字是$5$.
(1)由题意可得,第$n$个等式是$2^{n}-2^{n - 1}=2^{n - 1}$.
理由:$2^{n}-2^{n - 1}=2^{n - 1}\times(2 - 1)=2^{n - 1}\times1 = 2^{n - 1}$.
(2)$2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots+2^{2023}=(2^{1}-2^{0})+(2^{2}-2^{1})+(2^{3}-2^{2})+\cdots+(2^{2024}-2^{2023})=2^{1}-2^{0}+2^{2}-2^{1}+2^{3}-2^{2}+\cdots+2^{2024}-2^{2023}=2^{2024}-1=(2^{4})^{506}-1 = 16^{506}-1$.
$\because16$的任何正整数次幂的个位数字都是$6$,
$\therefore16^{506}-1$的个位数字是$5$,
即$2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots+2^{2023}$的个位数字是$5$.
1 如比较2¹¹与4⁵的大小.
因为4⁵=(2²)⁵=2¹⁰＜2¹¹,所以2¹¹＞4⁵.
利用以上方法比较3¹⁴与27⁵的大小.
因为4⁵=(2²)⁵=2¹⁰＜2¹¹,所以2¹¹＞4⁵.
利用以上方法比较3¹⁴与27⁵的大小.
答案：
解 $27^{5}=(3^{3})^{5}=3^{15}$. 因为 $3^{14}＜3^{15}$,所以 $3^{14}＜27^{5}$.
2 如比较3⁵⁵与5³³的大小.
因为3⁵⁵=(3⁵)¹¹=243¹¹,5³³=(5³)¹¹=125¹¹,
243¹¹＞125¹¹,所以3⁵⁵＞5³³.
利用以上方法比较2⁵⁵⁵与5²²²的大小.
因为3⁵⁵=(3⁵)¹¹=243¹¹,5³³=(5³)¹¹=125¹¹,
243¹¹＞125¹¹,所以3⁵⁵＞5³³.
利用以上方法比较2⁵⁵⁵与5²²²的大小.
答案：
解 因为 $2^{55}=(2^{5})^{11}=32^{11}$, $5^{22}=(5^{2})^{11}=25^{11}$, $32^{11}＞25^{11}$,所以 $2^{55}＞5^{22}$.
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