《2025年少年班七年级数学下册浙教版浙江专版》

1 数学文化 [2024·浙江学业水平考试模拟]《九章算术》是中国古代重要的数学著作，书中记载了这样一个题目：今有牛五羊二，直金十两. 牛二羊五，直金八两. 问牛羊各直金几何？其大意是：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两. 问牛、羊每头各值金多少？设每头牛值x两金，每头羊值y两金，则可列方程组为 （ ）
A. $\begin{cases}5x + 2y = 8,\\2x + 5y = 10\end{cases}$
B. $\begin{cases}5x + 2y = 10,\\2x + 5y = 8\end{cases}$
C. $\begin{cases}2x + 2y = 8,\\5x + 2y = 10\end{cases}$
D. $\begin{cases}5x + 5y = 10,\\5x + 2y = 8\end{cases}$

答案： B 解析 根据“牛5头，羊2头，共值金10两”，可得5x + 2y = 10；根据“牛2头，羊5头，共值金8两”，可得2x + 5y = 8。则可列方程组为$\begin{cases}5x + 2y = 10,\\2x + 5y = 8.\end{cases}$ 故选B。

2 某兴趣小组进行活动时，每个男生都头戴蓝色帽子，每个女生都头戴红色帽子，帽子戴好后，每个男生都看见戴红色帽子的人数比戴蓝色帽子的2倍少1，而每个女生都看见戴蓝色帽子的人数是戴红色帽子的$\frac{7}{10}$. 问：该兴趣小组男生、女生分别有多少人？

答案： 解 设该兴趣小组男生有x人，女生有y人。
根据题意，得$\begin{cases}2(x - 1)-1 = y,\\\frac{7}{10}(y - 1)=x,\end{cases}$
解这个方程组，得$\begin{cases}x = 7,\\y = 11.\end{cases}$
经检验，这个解满足方程组，且符合题意。
答：该兴趣小组男生有7人，女生有11人。

3 [2023·浙江杭州期中]工厂需要用铁皮制作包装盒，每张铁皮可制作盒身15个，或制作盒底20个，一个盒身与两个盒底配成一套包装盒. 现有40张铁皮，设用x张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制成包装盒. 下列方程组符合题意的是 （ ）
A. $\begin{cases}x + y = 40,\\y = 2x\end{cases}$
B. $\begin{cases}x + y = 40,\\15x = 2\times20y\end{cases}$
C. $\begin{cases}x + y = 40,\\2\times15x = 20y\end{cases}$
D. $\begin{cases}x + y = 40,\\\frac{2x}{15} = \frac{y}{20}\end{cases}$

答案： C 解析 由共有40张铁皮，得x + y = 40。根据每张铁皮可制作盒身15个，或制作盒底20个，且制作的盒底与盒身恰好配套，即制作的盒底总数是盒身的2倍，则有2×15x = 20y。根据题意可列方程组$\begin{cases}x + y = 40,\\2×15x = 20y.\end{cases}$ 故选C。

4 某车间有60名工人，生产甲、乙两种零件，每人每天可以生产24个甲种零件或12个乙种零件. 已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套. 问：应安排多少名工人生产甲种零件，多少名工人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套？

答案： 解 设安排x名工人生产甲种零件，y名工人生产乙种零件。
由题意，得$\begin{cases}x + y = 60,\\3×24x = 2×12y,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x = 15,\\y = 45.\end{cases}$
经检验，这个解满足方程组，且符合题意。
答：安排15名工人生产甲种零件，45名工人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套。

5 [2024·浙江宁波镇海一模]甲、乙两人练习跑步，如果乙先跑10米，那么甲跑5秒就可以追上乙；如果乙先跑2秒，那么甲跑4秒就可以追上乙. 设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，则可列出的方程组为 （ ）
A. $\begin{cases}5x = 5y + 10,\\4y = 6x\end{cases}$
B. $\begin{cases}5x = 5y + 10,\\4x = 6y\end{cases}$
C. $\begin{cases}5x + 10 = 5y,\\4x = 6y\end{cases}$
D. $\begin{cases}5y = 5x + 10,\\4y = 6x\end{cases}$

答案： B

6 从甲地到乙地有一段上坡与一段平路. 如果保持上坡每小时走3 km，平路每小时走4 km，下坡每小时走5 km，那么从甲地到乙地需要54 min，从乙地到甲地需42 min. 则甲地到乙地的全程是_______km.

答案： 3.1 解析 设从甲地到乙地的上坡路程为x km，平路路程为y km，则从乙地到甲地的下坡路程为x km，平路路程为y km。由题意，得$\begin{cases}\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=\frac{54}{60},\\\frac{x}{5}+\frac{y}{4}=\frac{42}{60},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x = 1.5,\\y = 1.6.\end{cases}$ 则甲地到乙地的全程是x + y = 1.5 + 1.6 = 3.1(km)。