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11 [2024·浙江杭州西湖十五中期中]一条铁路线A，B，C三个车站的位置如图所示，已知B，C两车站之间相距500千米. 火车从B站出发，向C站方向行驶，经过30分钟，距A站130千米；经过2小时，距A站280千米. 火车从B站开出多少时间后可到达C站？ （ ）
A. 4小时
B. 5小时
C. 6小时
D. 7小时
A. 4小时
B. 5小时
C. 6小时
D. 7小时
答案：
B 解析：设火车的速度为$x$千米/时，A站与B站相距$y$千米. 由题意得$\begin{cases}\frac{1}{2}x + y = 130,\\2x + y = 280,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x = 100,\\y = 80.\end{cases}$ 所以火车的速度为100千米/时，所以火车从B站开出到达C站的时间为$\frac{500}{100}=5$(小时). 故选B.
12 真情境 科技前沿 现在以及未来，会有更多的高科技应用出现在我们的日常生产、生活中，比如无人机放牧、机器狗导盲、智能化无人码头装卸等. 某快递公司为了提高工作效率，计划购买A，B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运25吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物450吨.
(1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨.
(2)每台A型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2.5万元，该公司采购A，B两种型号的机器人若干台，费用恰好是40万元，求A，B两种机器人分别采购多少台.
(1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨.
(2)每台A型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2.5万元，该公司采购A，B两种型号的机器人若干台，费用恰好是40万元，求A，B两种机器人分别采购多少台.
答案：
解：
(1)设每台A型机器人每天搬运货物$x$吨，每台B型机器人每天搬运货物$y$吨.
根据题意，得$\begin{cases}x - y = 25,\\3x + 2y = 450,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x = 100,\\y = 75.\end{cases}$ 答：每台A型机器人每天搬运货物100吨，每台B型机器人每天搬运货物75吨.
(2)设A型机器人采购$m$台，B型机器人采购$n$台. 根据题意，得$3m + 2.5n = 40$. 整理，得$6m + 5n = 80$，即$n = 16-\frac{6}{5}m$. $\because m$与$n$都是大于或等于0的整数，$\therefore$当$m = 0$时，$n = 16$；当$m = 5$时，$n = 10$；当$m = 10$时，$n = 4$. 答：A，B两种型号的机器人分别采购10台、4台或5台、10台或0台、16台.
(1)设每台A型机器人每天搬运货物$x$吨，每台B型机器人每天搬运货物$y$吨.
根据题意，得$\begin{cases}x - y = 25,\\3x + 2y = 450,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x = 100,\\y = 75.\end{cases}$ 答：每台A型机器人每天搬运货物100吨，每台B型机器人每天搬运货物75吨.
(2)设A型机器人采购$m$台，B型机器人采购$n$台. 根据题意，得$3m + 2.5n = 40$. 整理，得$6m + 5n = 80$，即$n = 16-\frac{6}{5}m$. $\because m$与$n$都是大于或等于0的整数，$\therefore$当$m = 0$时，$n = 16$；当$m = 5$时，$n = 10$；当$m = 10$时，$n = 4$. 答：A，B两种型号的机器人分别采购10台、4台或5台、10台或0台、16台.
13 解方程组：$\begin{cases}\frac{3x - 2y}{6}+\frac{2x + 3y}{7}=1,\\\frac{3x - 2y}{6}-\frac{2x + 3y}{7}=5.\end{cases}$
答案：
解：设$\frac{3x - 2y}{6}=m$，$\frac{2x + 3y}{7}=n$. 整理方程组，得$\begin{cases}m + n = 1,①\\m - n = 5.②\end{cases}$ ① + ②，得$2m = 6$，解得$m = 3$. ① - ②，得$2n = -4$，解得$n = -2$. 所以$\begin{cases}\frac{3x - 2y}{6}=3,\\\frac{2x + 3y}{7}=-2,\end{cases}$ 整理，得$\begin{cases}3x - 2y = 18,\\2x + 3y = -14,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x = 2,\\y = -6.\end{cases}$
14 新题型 阅读理解题【阅读感悟】有些关于方程组的问题，若欲求的结果不是每一个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值. 如下题：
已知实数$x$，$y$满足$3x - 2y = 7$①，$x + 3y = 9$②，求$2x - 5y$和$5x + 4y$的值.
本题常规的解题思路是将①②两式联立组成方程组，解得$x$，$y$的值. 再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量较大. 仔细观察两个方程中未知数$x$，$y$的系数与所求代数式中$x$，$y$的系数之间的关系，此题还可以通过适当的变形整体求得代数式的值.
由① - ②，得$2x - 5y = - 2$，由①+②×2，得$5x + 4y = 25$. 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.
【数学理解】(1)已知二元一次方程组$\begin{cases}6x + 3y = 10,\\3x + 6y = 8,\end{cases}$则代数式$x + y$的值为_______，代数式$x - y$的值为_______.
【迁移拓展】(2)对于实数$x$，$y$，定义新运算：$x※y = ax + by + c$，其中$a$，$b$，$c$为常数，等式右边是常规的加法和乘法运算. 已知$3※5 = 16$，$4※7 = 28$，求$1※1$的值.
已知实数$x$，$y$满足$3x - 2y = 7$①，$x + 3y = 9$②，求$2x - 5y$和$5x + 4y$的值.
本题常规的解题思路是将①②两式联立组成方程组，解得$x$，$y$的值. 再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量较大. 仔细观察两个方程中未知数$x$，$y$的系数与所求代数式中$x$，$y$的系数之间的关系，此题还可以通过适当的变形整体求得代数式的值.
由① - ②，得$2x - 5y = - 2$，由①+②×2，得$5x + 4y = 25$. 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.
【数学理解】(1)已知二元一次方程组$\begin{cases}6x + 3y = 10,\\3x + 6y = 8,\end{cases}$则代数式$x + y$的值为_______，代数式$x - y$的值为_______.
【迁移拓展】(2)对于实数$x$，$y$，定义新运算：$x※y = ax + by + c$，其中$a$，$b$，$c$为常数，等式右边是常规的加法和乘法运算. 已知$3※5 = 16$，$4※7 = 28$，求$1※1$的值.
答案：
解：
(1)2 $\frac{2}{3}$. 提示：解方程组$\begin{cases}6x + 3y = 10,①\\3x + 6y = 8,②\end{cases}$ ① + ②，得$9x + 9y = 18$，则$x + y = 2$；① - ②，得$x - y=\frac{2}{3}$.
(2)$\because 3※5 = 16$，$4※7 = 28$，$\therefore 3a + 5b + c = 16$①，$4a + 7b + c = 28$②，②×4 - ①×6，得$-2a - 2b - 2c = 16$，$\therefore a + b + c = -8$，$\therefore 1※1$的值为$a×1 + b×1 + c = a + b + c = -8$.
(1)2 $\frac{2}{3}$. 提示：解方程组$\begin{cases}6x + 3y = 10,①\\3x + 6y = 8,②\end{cases}$ ① + ②，得$9x + 9y = 18$，则$x + y = 2$；① - ②，得$x - y=\frac{2}{3}$.
(2)$\because 3※5 = 16$，$4※7 = 28$，$\therefore 3a + 5b + c = 16$①，$4a + 7b + c = 28$②，②×4 - ①×6，得$-2a - 2b - 2c = 16$，$\therefore a + b + c = -8$，$\therefore 1※1$的值为$a×1 + b×1 + c = a + b + c = -8$.
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