《2025年少年班七年级数学下册浙教版浙江专版》

6 新题型 阅读理解题 阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题：
已知实数$x,y$满足$3x - y = 5$,① $2x + 3y = 7$,②
求$x - 4y$和$7x + 5y$的值。
本题常规思路是先将①②两式联立，组成方程组，解出$x,y$的值，再代入整式得到答案，常规思路运算量比较大。其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得整式的值，如由① - ②可得$x - 4y = -2$，由① + ②×2 可得$7x + 5y = 19$。
这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”。
利用上面的知识解答下列问题：
(1)已知$x,y$满足方程组$\begin{cases}x + 2y = 9,\\2x + y = 6,\end{cases}$则$x - y$的值为________，$x + y$的值为________。
(2)已知方程组$\begin{cases}2m - 3n = -2,\\3m + 5n = 35\end{cases}$的解是$\begin{cases}m = 5,\\n = 4,\end{cases}$则方程组$\begin{cases}2(x + 2)-3(y - 1)= -2,\\3(x + 2)+5(y - 1)= 35\end{cases}$的解是________。

答案：
解
(1)-3 5 提示：$\begin{cases}x + 2y = 9,①\\2x + y = 6,②\end{cases}$
② - ①，得x - y= -3，

①+②，得3x + 3y=15，
则x + y=5.
(2)$\begin{cases}x = 3\\y = 5\end{cases}$ 提示：
∵方程组$\begin{cases}2m - 3n = -2\\3m + 5n = 35\end{cases}$的解是$\begin{cases}m = 5\\n = 4\end{cases}$，
∴$\begin{cases}x + 2 = 5\\y - 1 = 4\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x = 3\\y = 5\end{cases}$.

7 在解二元一次方程组时，我们常常也会采用“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解。
例如：解方程组$\begin{cases}2x + 5y = 3,①\\4x + 11y = 5,②\end{cases}$首先将②变形，得$4x + 10y + y = 5$，即$2(2x + 5y)+y = 5$,③
其次把①代入③，得$2×3 + y = 5$，即$y = -1$，最后把$y = -1$代入①，得$x = 4$，所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 4,\\y = -1.\end{cases}$
请你解答下列问题：
(1)你能否尝试用“整体代入消元”的方法解方程组$\begin{cases}3x + 4y = 16,①\\6x + 10y = 25.②\end{cases}$
(2)已知$x,y$均为整数，且满足方程组$\begin{cases}x^2 + xy + 3y^2 = 45,①\\3x^2 - xy + 9y^2 = 151.②\end{cases}$
(Ⅰ)求$xy$的值；
(Ⅱ)求出这个方程组的所有整数解。

答案： 解
(1)将②变形，得6x + 8y+2y=25，
即2(3x + 4y)+2y=25. ③
把①代入③，得2×16+2y=25，解得y=$-\frac{7}{2}$.
把y=$-\frac{7}{2}$代入①，得x=10，
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 10\\y = -\frac{7}{2}\end{cases}$.
(2)(Ⅰ)由①，得x²+3y²=45 - xy. ③
把③代入②，得 - 4xy=16，解得xy= -4.
(Ⅱ)由(Ⅰ)，得xy= -4.
因为x，y均为整数，
所以$\begin{cases}x = -1\\y = 4\end{cases}$或$\begin{cases}x = 1\\y = -4\end{cases}$或$\begin{cases}x = -2\\y = 2\end{cases}$或$\begin{cases}x = 2\\y = -2\end{cases}$或$\begin{cases}x = -4\\y = 1\end{cases}$或$\begin{cases}x = 4\\y = -1\end{cases}$.
由(Ⅰ)可求得x²+3y²=49，
所以$\begin{cases}x = -1\\y = 4\end{cases}$和$\begin{cases}x = 1\\y = -4\end{cases}$符合题意，
故原方程组的所有整数解是$\begin{cases}x = -1\\y = 4\end{cases}$和$\begin{cases}x = 1\\y = -4\end{cases}$.