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10 设$(x^{m - 1}y^{n + 2})\cdot(x^{5m}y^{2})=x^{5}y^{7}$,则$(-\frac{1}{2}m)^{n}$的值为 ( )
A. $-\frac{1}{8}$
B. $-\frac{1}{2}$
C. 1
D. $\frac{1}{2}$
A. $-\frac{1}{8}$
B. $-\frac{1}{2}$
C. 1
D. $\frac{1}{2}$
答案：
A 解析：$\because(x^{m - 1}y^{n + 2})\cdot(x^{5m}y^{2})=x^{5}y^{7}$，$\therefore x^{m - 1+5m}y^{n + 2+2}=x^{5}y^{7}$，$\therefore m - 1+5m = 5$，$n + 2+2 = 7$，解得$m = 1$，$n = 3$，则$\left(-\dfrac{1}{2}m\right)^{n}=\left(-\dfrac{1}{2}\times1\right)^{3}=-\dfrac{1}{8}$. 故选A.
11 [2023·浙江金华期中]如果单项式$-3x^{4m - n}y^{2}$与$\frac{1}{3}x^{3}y^{m + n}$的和仍是单项式,那么这两个单项式的积为 ( )
A. $-x^{6}y^{4}$
B. $x^{6}y^{4}$
C. $x^{3}y^{2}$
D. $-3x^{3}y^{2}$
A. $-x^{6}y^{4}$
B. $x^{6}y^{4}$
C. $x^{3}y^{2}$
D. $-3x^{3}y^{2}$
答案：
A 解析：由题意，得单项式$-3x^{4m - n}y^{2}$与$\dfrac{1}{3}x^{3}y^{m + n}$是同类项，$\therefore\begin{cases}4m - n = 3,\\m + n = 2,\end{cases}$解得$\begin{cases}m = 1,\\n = 1,\end{cases}$ $\therefore -3x^{4m - n}y^{2}\cdot\dfrac{1}{3}x^{3}y^{m + n}=-3x^{3}y^{2}\cdot\dfrac{1}{3}x^{3}y^{2}=-x^{6}y^{4}$. 故选A.
12 要使$(x^{3}+ax^{2}-x)\cdot(-8x^{4})$的运算结果中没有含$x^{6}$的项,则$a$的值应为 ( )
A. 8
B. -8
C. $\frac{1}{8}$
D. 0
A. 8
B. -8
C. $\frac{1}{8}$
D. 0
答案：
D 解析：$(x^{3}+ax^{2}-x)\cdot(-8x^{4})=-8x^{7}-8ax^{6}+8x^{5}$.$\because$运算结果中不含$x^{6}$的项，$\therefore -8a = 0$，解得$a = 0$. 故选D.
13 计算下列图形中阴影部分的面积.
(1)图(1)中,$S_{阴影部分}=$________;
(2)图(2)中,$S_{阴影部分}=$________.
(1)图(1)中,$S_{阴影部分}=$________;
(2)图(2)中,$S_{阴影部分}=$________.
答案：
(1)$bt+at - t^{2}$.
(2)$3n^{2}+2mn + 6m^{2}$.
(1)$bt+at - t^{2}$.
(2)$3n^{2}+2mn + 6m^{2}$.
14 [2024·浙江杭州一模]化简:$(3n - 4)-■(n - 2)$.
方方在做作业时,发现题中有一个数字被墨水污染了.
(1)如果被污染的数字是4,请计算$(3n - 4)-4(n - 2)$.
(2)如果化简的结果是单项式,求被污染的数字.
方方在做作业时,发现题中有一个数字被墨水污染了.
(1)如果被污染的数字是4,请计算$(3n - 4)-4(n - 2)$.
(2)如果化简的结果是单项式,求被污染的数字.
答案：
解：
(1)$(3n - 4)-4(n - 2)$
$=3n - 4-4n + 8$
$=-n + 4$.
(2)设被污染的数字为$x$，
则$(3n - 4)-x(n - 2)=3n - 4-xn + 2x=(3 - x)n+(-4 + 2x)$.
$\because$化简的结果是单项式，
$\therefore 3 - x = 0$或$-4 + 2x = 0$，
解得$x = 3$或$x = 2$.
$\therefore$被污染的数字为$3$或$2$.
(1)$(3n - 4)-4(n - 2)$
$=3n - 4-4n + 8$
$=-n + 4$.
(2)设被污染的数字为$x$，
则$(3n - 4)-x(n - 2)=3n - 4-xn + 2x=(3 - x)n+(-4 + 2x)$.
$\because$化简的结果是单项式，
$\therefore 3 - x = 0$或$-4 + 2x = 0$，
解得$x = 3$或$x = 2$.
$\therefore$被污染的数字为$3$或$2$.
15 新题型 新定义运算题 已知$a,b,c,d$均为有理数,现规定一种运算:$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$,如$\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=1\times4 - 2\times3=-2$.
(1)根据这个运算,请计算$\begin{vmatrix}2&5\\-3&-4\end{vmatrix}$.
(2)根据这个运算,当$\vert x - 1\vert = 0$时,求$\begin{vmatrix}1&3\\2x - 3&5x\end{vmatrix}$的值.
(1)根据这个运算,请计算$\begin{vmatrix}2&5\\-3&-4\end{vmatrix}$.
(2)根据这个运算,当$\vert x - 1\vert = 0$时,求$\begin{vmatrix}1&3\\2x - 3&5x\end{vmatrix}$的值.
答案：
解：
(1)原式$=2\times(-4)-(-3)\times5=-8 + 15 = 7$.
(2)由$x - 1 = 0$，解得$x = 1$，
则原式$=1\times5x-(2x - 3)\times5=5x-6x + 9=-x + 9=-1 + 9 = 8$.
(1)原式$=2\times(-4)-(-3)\times5=-8 + 15 = 7$.
(2)由$x - 1 = 0$，解得$x = 1$，
则原式$=1\times5x-(2x - 3)\times5=5x-6x + 9=-x + 9=-1 + 9 = 8$.
16 新题型 阅读理解题 阅读下列文字.
已知$x^{2}y = 3$,求$2xy(x^{5}y^{2}-3x^{3}y - 4x)$的值.
分析:考虑到满足$x^{2}y = 3$的$x,y$的可能值较多,不可以逐一代入求解,故考虑整体思想,将$x^{2}y = 3$整体代入.
解:$2xy(x^{5}y^{2}-3x^{3}y - 4x)$
$=2x^{6}y^{3}-6x^{4}y^{2}-8x^{2}y$
$=2(x^{2}y)^{3}-6(x^{2}y)^{2}-8x^{2}y$.
将$x^{2}y = 3$代入,
得原式$=2\times3^{3}-6\times3^{2}-8\times3=-24$.
请你用上述方法解决下列问题.
(1)已知$ab = 3$,求$(2a^{3}b^{2}-3a^{2}b + 4a)\cdot(-2b)$的值.
(2)已知$a^{2}+a - 1 = 0$,求$a^{3}+2a^{2}+2023$的值.
已知$x^{2}y = 3$,求$2xy(x^{5}y^{2}-3x^{3}y - 4x)$的值.
分析:考虑到满足$x^{2}y = 3$的$x,y$的可能值较多,不可以逐一代入求解,故考虑整体思想,将$x^{2}y = 3$整体代入.
解:$2xy(x^{5}y^{2}-3x^{3}y - 4x)$
$=2x^{6}y^{3}-6x^{4}y^{2}-8x^{2}y$
$=2(x^{2}y)^{3}-6(x^{2}y)^{2}-8x^{2}y$.
将$x^{2}y = 3$代入,
得原式$=2\times3^{3}-6\times3^{2}-8\times3=-24$.
请你用上述方法解决下列问题.
(1)已知$ab = 3$,求$(2a^{3}b^{2}-3a^{2}b + 4a)\cdot(-2b)$的值.
(2)已知$a^{2}+a - 1 = 0$,求$a^{3}+2a^{2}+2023$的值.
答案：
解：
(1)$(2a^{3}b^{2}-3a^{2}b + 4a)\cdot(-2b)=-4a^{3}b^{3}+6a^{2}b^{2}-8ab=-4(ab)^{3}+6(ab)^{2}-8ab$.
将$ab = 3$代入，得原式$=-4\times3^{3}+6\times3^{2}-8\times3=-108 + 54-24=-78$.
(2)$\because a^{2}+a - 1 = 0$，$\therefore a^{2}+a = 1$，
$\therefore a^{3}+2a^{2}+2023=a^{3}+a^{2}+a^{2}+2023=a(a^{2}+a)+a^{2}+2023=a+a^{2}+2023=1 + 2023 = 2024$.
(1)$(2a^{3}b^{2}-3a^{2}b + 4a)\cdot(-2b)=-4a^{3}b^{3}+6a^{2}b^{2}-8ab=-4(ab)^{3}+6(ab)^{2}-8ab$.
将$ab = 3$代入，得原式$=-4\times3^{3}+6\times3^{2}-8\times3=-108 + 54-24=-78$.
(2)$\because a^{2}+a - 1 = 0$，$\therefore a^{2}+a = 1$，
$\therefore a^{3}+2a^{2}+2023=a^{3}+a^{2}+a^{2}+2023=a(a^{2}+a)+a^{2}+2023=a+a^{2}+2023=1 + 2023 = 2024$.
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