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11 现有$a$千克甲种糖果,售价为每千克$m$元;$b$千克乙种糖果,售价为每千克$n$元. 若将这两种糖果混在一起出售,则售价应为每千克________元.
答案：
$\frac{am + bn}{a + b}$
12 [2024·浙江杭州模拟预测]下列分式一定有意义的是 （ ）
A. $\frac{x}{x^{2} + 2}$
B. $\frac{x + 1}{x^{2}}$
C. $\frac{b}{a^{2} + a}$
D. $\frac{y^{2}}{y - 1}$
A. $\frac{x}{x^{2} + 2}$
B. $\frac{x + 1}{x^{2}}$
C. $\frac{b}{a^{2} + a}$
D. $\frac{y^{2}}{y - 1}$
答案：
A
13 [2023·浙江宁波海曙一模]对于分式$\frac{2 - x}{2x - 6}$,下列说法错误的是 （ ）
A. 当$x = 2$时,分式的值为0
B. 当$x = 3$时,分式无意义
C. 当$x＞2$时,分式的值为正数
D. 当$x = \frac{8}{3}$时,分式的值为1
A. 当$x = 2$时,分式的值为0
B. 当$x = 3$时,分式无意义
C. 当$x＞2$时,分式的值为正数
D. 当$x = \frac{8}{3}$时,分式的值为1
答案：
C 解析：当$x = 2$时，$2 - x = 0$，$2x - 6=-2\neq0$，所以当$x = 2$时，分式的值为 0，选项 A 说法正确；当$x = 3$时，$2x - 6 = 6 - 6 = 0$，所以当$x = 3$时，分式无意义，选项 B 说法正确；当$x＞2$时，$2 - x＜0$，$2x - 6＞-2$，所以分式的值有可能为正数、有可能为负数、有可能无意义，选项 C 说法错误；当$x=\frac{8}{3}$时，$\frac{2 - x}{2x - 6}=\frac{2-\frac{8}{3}}{2\times\frac{8}{3}-6}=1$，选项 D 说法正确. 故选 C.
14 “五水共治”工程中,要挖掘一段长$a$千米的排污管沟. 如果由10个工人挖掘,要用$m$天完成;如果由1台挖掘机挖掘,要比由10个工人挖掘提前3天完成. 1台挖掘机的工作效率是1个工人工作效率的 （ ）
A. $\frac{a}{m - 3}$倍
B. $\frac{a}{7m}$倍
C. $\frac{m - 3}{10m}$倍
D. $\frac{10m}{m - 3}$倍
A. $\frac{a}{m - 3}$倍
B. $\frac{a}{7m}$倍
C. $\frac{m - 3}{10m}$倍
D. $\frac{10m}{m - 3}$倍
答案：
D 解析：设 1 台挖掘机的工作效率为$x$，1 个工人的工作效率为$y$，则$10my = x(m - 3)$，所以$\frac{x}{y}=\frac{10m}{m - 3}$. 故选 D.
15 当$a =$________时,分式$\frac{a^{2} + a - 12}{a - 3}$的值为1.
答案：
- 3 解析：由题意，得$a^{2}+a - 12 = a - 3$. 整理，得$a^{2}=9$. 解得$a = 3$或$a = - 3$. 因为当$a = 3$时，分式的分母为 0，分式没有意义，所以$a = - 3$.
16 观察下列分式:$-\frac{1}{x},\frac{2}{x^{2}},-\frac{4}{x^{3}},\frac{8}{x^{4}},-\frac{16}{x^{5}},\cdots$. 根据以上规律,写出它的第$n$项:________.
答案：
$(-1)^{n}\frac{2^{n - 1}}{x^{n}}$ 解析：由第 1 项为$-\frac{1}{x}=(-1)^{1}\frac{2^{1 - 1}}{x^{1}}$，第 2 项为$\frac{2}{x^{2}}=(-1)^{2}\frac{2^{2 - 1}}{x^{2}}$，第 3 项为$-\frac{4}{x^{3}}=(-1)^{3}\frac{2^{3 - 1}}{x^{3}}$，……可知第$n$项为$(-1)^{n}\frac{2^{n - 1}}{x^{n}}$.
17 [2024·吉林中考]当分式$\frac{1}{x + 1}$的值为正数时,写出一个满足条件的$x$的值为________.
答案：
0(答案不唯一) 解析：
∵分式$\frac{1}{x + 1}$的值为正数，
∴$x + 1＞0$. 又$0 + 1＞0$，
∴满足题意的$x$的值可以为 0(答案不唯一).
∵分式$\frac{1}{x + 1}$的值为正数，
∴$x + 1＞0$. 又$0 + 1＞0$，
∴满足题意的$x$的值可以为 0(答案不唯一).
18 对于分式$\frac{x + a + b}{a - 2b + 3x}$:当$x = 1$时,分式的值为0;当$x = -2$时,分式无意义. 试求$a,b$的值.
答案：
解：对于分式$\frac{x + a + b}{a - 2b + 3x}$：
当$x = 1$时，分式的值为 0，
所以$1 + a + b = 0$①，且$a - 2b + 3\neq0$；
当$x = - 2$时，分式无意义，
所以$a - 2b - 6 = 0$②.
联立①②，得$\begin{cases}1 + a + b = 0\\a - 2b - 6 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=\frac{4}{3}\\b=-\frac{7}{3}\end{cases}$.
因为当$a=\frac{4}{3}$，$b = -\frac{7}{3}$时，$a - 2b + 3\neq0$，
所以$a$的值是$\frac{4}{3}$，$b$的值是$-\frac{7}{3}$.
当$x = 1$时，分式的值为 0，
所以$1 + a + b = 0$①，且$a - 2b + 3\neq0$；
当$x = - 2$时，分式无意义，
所以$a - 2b - 6 = 0$②.
联立①②，得$\begin{cases}1 + a + b = 0\\a - 2b - 6 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=\frac{4}{3}\\b=-\frac{7}{3}\end{cases}$.
因为当$a=\frac{4}{3}$，$b = -\frac{7}{3}$时，$a - 2b + 3\neq0$，
所以$a$的值是$\frac{4}{3}$，$b$的值是$-\frac{7}{3}$.
19 某工程队准备修建一条长1 000 m的公路. 由于采取新的施工方式,实际每天修建公路的长度比原计划增加20 m,从而缩短了工期. 假设原计划每天修建公路$a$ m.
(1)原计划修建这条公路需要多少天? 实际修建这条公路用了多少天?
(2)实际修建这条公路的工期比原计划缩短了几天?
(1)原计划修建这条公路需要多少天? 实际修建这条公路用了多少天?
(2)实际修建这条公路的工期比原计划缩短了几天?
答案：
解：
(1)原计划修建这条公路需要$\frac{1000}{a}$天，实际修建这条公路用了$\frac{1000}{a + 20}$天.
(2)实际修建这条公路的工期比原计划缩短了$(\frac{1000}{a}-\frac{1000}{a + 20})$天.
(1)原计划修建这条公路需要$\frac{1000}{a}$天，实际修建这条公路用了$\frac{1000}{a + 20}$天.
(2)实际修建这条公路的工期比原计划缩短了$(\frac{1000}{a}-\frac{1000}{a + 20})$天.
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