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6. (易错题)[2024·浙江宁波期中]已知$x + y = 3$，$xy = 1$，则$(x - y)^{2}$的值为（ ）
A. 5
B. 7
C. 11
D. 13
A. 5
B. 7
C. 11
D. 13
答案：
A 解析 将$x + y = 3$两边平方,得$(x + y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy = 9$.
将$xy = 1$代入,得$x^{2}+y^{2}+2 = 9$,即$x^{2}+y^{2}=7$,则$(x - y)^{2}=x^{2}+y^{2}-2xy = 7-2 = 5$. 故选 A.
将$xy = 1$代入,得$x^{2}+y^{2}+2 = 9$,即$x^{2}+y^{2}=7$,则$(x - y)^{2}=x^{2}+y^{2}-2xy = 7-2 = 5$. 故选 A.
7. [2023·浙江期末]若$(x + m)^{2}=x^{2}-6x + n$，则m，n的值分别为（ ）
A. 3，9
B. 3，-9
C. -3，9
D. -3，-9
A. 3，9
B. 3，-9
C. -3，9
D. -3，-9
答案：
C 解析 $\because(x + m)^{2}=x^{2}+2mx + m^{2}=x^{2}-6x + n$,
$\therefore\begin{cases}2m=-6,\\n = m^{2},\end{cases}$ $\therefore\begin{cases}m=-3,\\n = 9.\end{cases}$ 故选 C.
$\therefore\begin{cases}2m=-6,\\n = m^{2},\end{cases}$ $\therefore\begin{cases}m=-3,\\n = 9.\end{cases}$ 故选 C.
8. [2023·浙江金华期末]若$(x - y)^{2}+M=x^{2}+xy + y^{2}$，则M的值为（ ）
A. $xy$
B. 0
C. $2xy$
D. $3xy$
A. $xy$
B. 0
C. $2xy$
D. $3xy$
答案：
D 解析 $\because(x - y)^{2}+M=x^{2}+xy + y^{2}$,$\therefore M=x^{2}+xy + y^{2}-(x - y)^{2}=3xy$. 故选 D.
9. [2024·浙江台州期末]已知$(x - 2022)^{2}+(x - 2026)^{2}=26$，则$(x - 2024)^{2}$的值是（ ）
A. 5
B. 9
C. 13
D. 17
A. 5
B. 9
C. 13
D. 17
答案：
B 解析 $\because(x - 2022)^{2}+(x - 2026)^{2}=26$,$\therefore(x - 2024-2)^{2}+(x - 2024+2)^{2}=26$,$\therefore(x - 2024)^{2}-4(x - 2024)+4+(x - 2024)^{2}+4(x - 2024)+4 = 26$,整理,得$2(x - 2024)^{2}=18$,$\therefore(x - 2024)^{2}=9$. 故选 B.
10. 运用完全平方公式计算：
(1)$102^{2}$；
(2)$202^{2}+202×196 + 98^{2}$.
(1)$102^{2}$；
(2)$202^{2}+202×196 + 98^{2}$.
答案：
解
(1)原式$=(100 + 2)^{2}=10000+400 + 4 = 10404$.
(2)原式$=202^{2}+2×202×98 + 98^{2}=(202 + 98)^{2}=300^{2}=90000$.
(1)原式$=(100 + 2)^{2}=10000+400 + 4 = 10404$.
(2)原式$=202^{2}+2×202×98 + 98^{2}=(202 + 98)^{2}=300^{2}=90000$.
11. 数学文化 中国古代数学 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例. 如图，这个三角形的构造法则为两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了$(a + b)^{n}$（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律. 例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着$(a + b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b + 3ab^{2}+b^{3}$展开式中各项的系数等.
(1)根据上面的规律，得$(a + b)^{5}$的展开式中各项的系数和为________.
(2)利用上面的规律计算：$2^{5}-5×2^{4}+10×2^{3}-10×2^{2}+5×2 - 1$.
(1)根据上面的规律，得$(a + b)^{5}$的展开式中各项的系数和为________.
(2)利用上面的规律计算：$2^{5}-5×2^{4}+10×2^{3}-10×2^{2}+5×2 - 1$.
答案：
解
(1)32 提示:按题中规律可知“杨辉三角”中第六行的六个数恰好对应着$(a + b)^{5}=a^{5}+5a^{4}b + 10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}$展开式中各项的系数,分别为 1,5,10,10,5,1,所以$(a + b)^{5}$展开式中各项的系数和为$1 + 5+10 + 10+5 + 1 = 32$.
(2)原式$=2^{5}+5×2^{4}×(-1)+10×2^{3}×(-1)^{2}+10×2^{2}×(-1)^{3}+5×2×(-1)^{4}+(-1)^{5}=(2 - 1)^{5}=1$.
(1)32 提示:按题中规律可知“杨辉三角”中第六行的六个数恰好对应着$(a + b)^{5}=a^{5}+5a^{4}b + 10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}$展开式中各项的系数,分别为 1,5,10,10,5,1,所以$(a + b)^{5}$展开式中各项的系数和为$1 + 5+10 + 10+5 + 1 = 32$.
(2)原式$=2^{5}+5×2^{4}×(-1)+10×2^{3}×(-1)^{2}+10×2^{2}×(-1)^{3}+5×2×(-1)^{4}+(-1)^{5}=(2 - 1)^{5}=1$.
12. 新题型 阅读理解题 阅读下列解答过程.
已知$x≠0$，且满足$x^{2}-3x = 1$，求$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$的值.
解：$\because x^{2}-3x = 1$，$\therefore x^{2}-3x - 1 = 0$.
$\because x≠0$，$\therefore x - 3-\frac{1}{x}=0$，即$x-\frac{1}{x}=3$，
$\therefore x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=(x - \frac{1}{x})^{2}+2=3^{2}+2 = 11$.
请通过阅读以上内容，解答下列问题.
已知$a≠0$，且满足$(2a + 1)(1 - 2a)-(3 - 2a)^{2}+9a^{2}=14a - 7$，求$a^{2}+\frac{1}{a^{2}}$的值.
已知$x≠0$，且满足$x^{2}-3x = 1$，求$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$的值.
解：$\because x^{2}-3x = 1$，$\therefore x^{2}-3x - 1 = 0$.
$\because x≠0$，$\therefore x - 3-\frac{1}{x}=0$，即$x-\frac{1}{x}=3$，
$\therefore x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=(x - \frac{1}{x})^{2}+2=3^{2}+2 = 11$.
请通过阅读以上内容，解答下列问题.
已知$a≠0$，且满足$(2a + 1)(1 - 2a)-(3 - 2a)^{2}+9a^{2}=14a - 7$，求$a^{2}+\frac{1}{a^{2}}$的值.
答案：
解 $(2a + 1)(1 - 2a)-(3 - 2a)^{2}+9a^{2}=14a - 7$,
即$1-4a^{2}-(9-12a + 4a^{2})+9a^{2}-14a + 7 = 0$,
整理,得$a^{2}-2a - 1 = 0$,$\therefore a^{2}-1 = 2a$.
$\because a\neq0$,$\therefore a-\frac{1}{a}=2$,
$\therefore a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=(a-\frac{1}{a})^{2}+2 = 2^{2}+2 = 4 + 2 = 6$.
即$1-4a^{2}-(9-12a + 4a^{2})+9a^{2}-14a + 7 = 0$,
整理,得$a^{2}-2a - 1 = 0$,$\therefore a^{2}-1 = 2a$.
$\because a\neq0$,$\therefore a-\frac{1}{a}=2$,
$\therefore a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=(a-\frac{1}{a})^{2}+2 = 2^{2}+2 = 4 + 2 = 6$.
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