《2025年少年班七年级数学下册浙教版浙江专版》

10. 新题型 新定义运算题 我们规定$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$，例如$\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=1\times4 - 2\times3=-2$. 已知$\begin{vmatrix}m + 2n&n\\m - 2n + 3&m - n\end{vmatrix}=5$，则代数式$2m^{2}-6n - 1$的值是 （ ）
A. 4
B. 5
C. 8
D. 9

答案： 10. D 解析：根据题意，得$(m + 2n)(m - n)-n(m - 2n + 3)=5$，
∴$m^{2}+2mn - mn - 2n^{2}-mn + 2n^{2}-3n = 5$，则$m^{2}-3n = 5$，
∴$2(m^{2}-3n)=2m^{2}-6n = 10$，
∴$2m^{2}-6n - 1 = 10 - 1 = 9$。故选 D。

11. 若代数式$x^{2}+ax + 9-(x - 3)^{2}$的值为0，则$a$的值为 （ ）
A. 0
B. -3
C. -6
D. 9

答案： C

12. 若$(x + 2)(x - 3)=7$，则$(x + 2)^{2}+(x - 3)^{2}$的值为________.

答案： 39 解析：设$x + 2 = a$，$x - 3 = b$，则$a - b = 5$，$ab = 7$。
∵$a^{2}+b^{2}=(a - b)^{2}+2ab = 25+2×7 = 25 + 14 = 39$，
∴$(x + 2)^{2}+(x - 3)^{2}=a^{2}+b^{2}=39$。

13. [2024·浙江温州期末]先化简，再求值：$(x - 1)^{2}+(x + 3)(x - 3)+(x - 3)(x - 1)$，其中$x^{2}-2x = 2$.

答案： 解：$(x - 1)^{2}+(x + 3)(x - 3)+(x - 3)(x - 1)$
$=x^{2}-2x + 1+x^{2}-9+x^{2}-4x + 3$
$=3x^{2}-6x - 5$。
∵$x^{2}-2x = 2$，
∴原式$=3×2 - 5 = 1$。

14. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式. 例如，图(1)可以得到$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$.
　　　　
(1)类比图(1)的数学等式，写出图(2)表示的数学等式.
(2)若$a + b + c = 10$，$ab + ac + bc = 35$，用(1)得到的数学等式求$a^{2}+b^{2}+c^{2}$的值.

答案： 解：
(1)题图
(2)中正方形的面积有两种算法：
①$(a + b + c)^{2}$；②$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac + 2bc$。
∴$(a + b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac + 2bc$。
(2)
∵$(a + b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac + 2bc$，
∴$a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a + b + c)^{2}-2ab - 2ac - 2bc = 10^{2}-2×35 = 30$。

微专题6 利用乘法公式求面积 一题多变
两个边长分别为a和b的正方形(a＞b)按如图(1)(2)(3)放置，阴影部分的面积分别记为S₁,S₂,S₃.
(1)用含a,b的代数式分别表示S₁,S₂,S₃.
(2)若S₁=1,S₃=3,求S₂的值.
(3)若对于任意的正数a,b,都有S₁+mS₃=kS₂(m,k为常数),求m,k的值.

答案： 微专题6 利用乘法公式求面积
解
(1)题图
(1)中,阴影部分的边长都是a - b,
所以S₁=(a - b)²;
题图
(2)中,阴影部分面积S₂=(a² + b²)-[1/2a² + 1/2(a + b)b]=1/2a² - 1/2ab + 1/2b²;
题图
(3)中,阴影部分面积S₃=1/2ab.
(2)当S₁ = 1,S₃ = 3时,{ (a - b)² = 1, 1/2ab = 3,
解得{ ab = 6, a² + b² = 13, 代入S₂,得
S₂=1/2a² - 1/2ab + 1/2b²=1/2(a² + b²)-1/2ab=13/2 - 3=7/2.
(3)因为S₁=(a - b)²,S₂=1/2a² - 1/2ab + 1/2b²,S₃=1/2ab,
对于任意的正数a,b,都有S₁ + mS₃ = kS₂(m,k为常数),
所以(a - b)² + m·1/2ab = k(1/2a² - 1/2ab + 1/2b²),
整理,得2(a² + b²)+ab(m - 4)=(a² + b²)k+ab(-k).
因为m,k为常数,
所以k = 2,m - 4 = -k,解得m = 2.