《2025年步步高大二轮专题复习高中数学》

例2　已知椭圆$E:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞b＞0)$的短轴长为$2\sqrt{3}$，左、右顶点分别为$C$，$D$，过右焦点$F(1,0)$的直线$l$交椭圆$E$于$A$，$B$两点（不与$C$，$D$重合），直线$AC$与直线$BD$交于点$T$.
　(1)求椭圆$E$的方程;
　(2)求证：点$T$在定直线上.

答案：
例2　（1）解　依题意，$b = \sqrt{3}$，半焦距$c = 1$，则$a = \sqrt{b² + c²}=2$.
所以椭圆$E$的方程为$\frac{x²}{4}+\frac{y²}{3}=1$.
（2）证明　显然直线$AB$不垂直于$y$轴，设直线$AB$：$x = ty + 1$.
由$\begin{cases}x = ty + 1\\3x² + 4y² = 12\end{cases}$，消去$x$并整理得$(3t² + 4)y² + 6ty - 9 = 0$.
$Δ = 36t² + 36(3t² + 4)=144(t² + 1)＞0$，设$A(x₁,y₁)$，$B(x₂,y₂)$，则$y₁ + y₂ = \frac{-6t}{3t² + 4}$，$y₁y₂ = \frac{-9}{3t² + 4}$，且有$ty₁y₂ = \frac{3}{2}(y₁ + y₂)$.
直线$AC$：$y = \frac{y₁}{x₁ + 2}(x + 2)$，直线$BD$：$y = \frac{y₂}{x₂ - 2}(x - 2)$.
联立消去$y$得$\frac{y₁}{x₁ + 2}(x + 2)=\frac{y₂}{x₂ - 2}(x - 2)$，即$(\frac{y₂}{x₂ - 2}-\frac{y₁}{x₁ + 2})x=\frac{2y₁}{x₁ + 2}+\frac{2y₂}{x₂ - 2}$，整理得$[y₂(x₁ + 2)-y₁(x₂ - 2)]x = 2y₁(x₂ - 2)+2y₂(x₁ + 2)$，即$[y₂(ty₁ + 3)-y₁(ty₂ - 1)]x = 2y₁(ty₂ - 1)+2y₂(ty₁ + 3)$.
于是$(3y₂ + y₁)x = 4ty₁y₂ - 2y₁ + 6y₂$，而$ty₁y₂ = \frac{3}{2}(y₁ + y₂)$，则$(3y₂ + y₁)x = 6(y₁ + y₂) - 2y₁ + 6y₂$.
因此$x = \frac{6(y₁ + y₂)-2y₁ + 6y₂}{3y₂ + y₁}=\frac{12y₂ + 4y₁}{3y₂ + y₁}=4$，所以点$T$在定直线$x = 4$上.

跟踪演练2　(2024·安康模拟)已知双曲线$C:x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$的左、右顶点分别是$A_1$，$A_2$，直线$l$与$C$交于$M$，$N$两点（不与$A_2$重合），设直线$A_2M$，$A_2N$，$l$的斜率分别为$k_1$，$k_2$，$k$，且$(k_1 + k_2)k=-6$.
(1)判断直线$l$是否过$x$轴上的定点.若过，求出该定点;若不过，请说明理由;
(2)若$M$，$N$分别在第一和第四象限内，证明：直线$MA_1$与$NA_2$的交点$P$在定直线上.

答案： 跟踪演练2　（1）解　由题意可知$A₁(-1,0)$，$A₂(1,0)$，$k ≠ 0$，设直线$l$的方程为$y = kx + m$，$M(x₁,y₁)$，$N(x₂,y₂)$.
由$\begin{cases}x²-\frac{y²}{3}=1\\y = kx + m\end{cases}$消去$y$，可得$(3 - k²)x² - 2kmx - m² - 3 = 0$，则$k² ≠ 3$，$Δ = 12(m² + 3 - k²)＞0$，即$k² ＜ m² + 3$，$x₁ + x₂ = \frac{2km}{3 - k²}$，$x₁x₂ = -\frac{m² + 3}{3 - k²}$.
因为$(k₁ + k₂)k=k(\frac{kx₁ + m}{x₁ - 1}+\frac{kx₂ + m}{x₂ - 1})=k[\frac{2kx₁x₂+(m - k)(x₁ + x₂)-2m}{x₁x₂ - (x₁ + x₂)+1}]=k[\frac{2k(-\frac{m² + 3}{3 - k²})+(m - k)\frac{2km}{3 - k²}-2m}{-\frac{m² + 3}{3 - k²}-\frac{2km}{3 - k²}+1}]=\frac{6k}{m + k}=-6$，所以$m = -2k$.
故直线$l$的方程为$y = k(x - 2)$，恒过点$(2,0)$.
（2）证明　由题可知，直线$MA₁$的方程为$y = \frac{y₁}{x₁ + 1}(x + 1)$，直线$NA₂$的方程为$y = \frac{y₂}{x₂ - 1}(x - 1)$.
联立两方程得$\frac{x + 1}{y₁(x₂ - 1)}=\frac{y₂(x₁ + 1)}{y₁(x₂ - 1)}=\frac{(x₂ - 2)(x₁ + 1)}{(x₁ - 2)(x₂ - 1)}=\frac{x₁x₂ - 2x₁ + x₂ - 2}{x₁x₂ - 2x₂ - x₁ + 2}=\frac{x₁x₂ + (x₁ + x₂)-3x₁ - 2}{x₁x₂ - 2(x₁ + x₂)+x₁ + 2}=\frac{-\frac{6k² + 9}{3 - k²}-3x₁}{\frac{2k² + 3}{3 - k²}+x₁}=-3$，所以$x = \frac{1}{2}$.
故点$P$在定直线$x = \frac{1}{2}$上.