《2025年步步高大二轮专题复习高中数学》

考向1　函数图象的识别
例2　(2024·全国甲卷)函数$f(x)=-x^{2}+(e^{x}-e^{-x})\sin x$在区间$[-2.8,2.8]$上的大致图象为　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　　　　

答案： B

考向2　函数图象的变换及应用
例3　(1)(2024·长沙统考)已知函数$f(x)=\begin{cases}2^{x},x\leq1, \\\log_{\frac{1}{2}}x,x＞1,\end{cases}$则$f(2 - x)$的图象是　　(　　　)
　　　
　　　

答案：
(1)C

(2)(2024·渭南模拟)已知$f(x)=\begin{cases}|\sin\pi x|,0\leq x\leq2, \\e^{x},x＜0,\end{cases}$若存在实数$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$且$x_{1}＜x_{2}＜x_{3}＜x_{4}＜x_{5}$，使得$f(x_{1})=f(x_{2})=f(x_{3})=f(x_{4})=f(x_{5})$，则$\sum_{i = 1}^{5}x_{i}f(x_{i})$的取值范围为　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. $(-\infty,-\frac{1}{e^{5}}]$
B. $(-\frac{1}{e^{3}},0]$
C. $(-\infty,4]$
D. $[-\frac{1}{e^{5}},4)$

答案：

(2)D [作出$f(x)=\begin{cases}|\sin \pi x|,0\leqslant x\leqslant 2 \\ e^{x},x＜0\end{cases}$的图象如图，

由题，$x_{2}+x_{3}=1$，$x_{4}+x_{5}=3$，$x_{1}＜0$，
所以$\sum_{i = 1}^{5}x_{i}f(x_{i})=(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5})f(x_{1})=(x_{1}+4)f(x_{1})=(x_{1}+4)e^{x_{1}}$，
令$g(x)=(x + 4)e^{x}(x＜0)$，
则当$x＜-4$时，$g(x)＜0$；
当$-4＜x＜0$时，$g(x)＞0$.
$g'(x)=(x + 5)e^{x}$，当$x＜-5$时，$g'(x)＜0$，$g(x)$在$(-\infty,-5)$上单调递减；
当$-5＜x＜0$时，$g'(x)＞0$，$g(x)$在$(-5,0)$上单调递增.
所以$g(x)_{\min}=g(-5)=-\frac{1}{e^{5}}$，
且$g(x)＜g(0)=4$，所以$\sum_{i = 1}^{5}x_{i}f(x_{i})$的取值范围为$[-\frac{1}{e^{5}},4)$. ]

跟踪演练2　(1)(2024·马鞍山模拟)已知函数$y = f(x)$的大致图象如图所示，则$y = f(x)$的解析式可能为　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　　　　　　　　　　　　
A. $f(x)=\frac{x\cdot3^{x}}{9^{x}-1}$
B. $f(x)=\frac{x\cdot3^{x}}{9^{x}+1}$
C. $f(x)=\frac{\ln(|x| + 1)}{x^{2}+1}$
D. $f(x)=\frac{-x}{(x^{2}+1)\ln(|x| + 2)}$

答案：
(1)D

(2)(2024·南充模拟)已知函数$f(x)=\frac{x\cos x}{e^{x}+e^{-x}}$，则函数$y = f(x - 1)+1$的图象　　　　　(　　　)
A. 关于点$(1,1)$对称
B. 关于点$(-1,1)$对称
C. 关于点$(-1,0)$对称
D. 关于点$(1,0)$对称

答案：
(2)A

考向1　单调性与奇偶性
例4　已知定义在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)=e^{x}-e^{-x}$，设$a = 2^{0.7}\cdot f(2^{0.7})$，$b = (\frac{1}{2})^{-0.8}\cdot f((\frac{1}{2})^{-0.8})$，$c = -\log_{0.7}1.25\cdot f(\log_{0.7}0.8)$，则$a,b,c$的大小关系是　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. $b＞a＞c$
B. $c＞a＞b$
C. $b＞c＞a$
D. $c＞b＞a$

答案： A