《2025年步步高大二轮专题复习高中数学》

例2　(2024·衡水模拟)已知甲口袋有$m(m\geqslant 1,m\in \mathbf{N}^*)$个红球和2个白球，乙口袋有$n(n\geqslant 1,n\in \mathbf{N}^*)$个红球和2个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球。
（1）当$m = 4$，$n = 2$时，
①求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率；
②设小明4次摸球中，摸出白球的个数为$X$，求$X$的数学期望；
（2）当$m = n$时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为$P$，则当$m$为何值时，$P$最大？

答案： 解　
(1)小明从甲口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为$\frac{2}{4 + 2}=\frac{1}{3}$，
从乙口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为$\frac{2}{2 + 2}=\frac{1}{2}$。
①设“小明4次摸球中，至少摸出1个白球”为事件A，则“小明4次摸球中，摸出的都是红球”为事件$\overline{A}$，
且$P(\overline{A})=(1 - \frac{1}{3})^2\times(1 - \frac{1}{2})^2=\frac{1}{9}$，
所以$P(A)=1 - P(\overline{A})=1 - \frac{1}{9}=\frac{8}{9}$。
②X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
由①得$P(X = 0)=P(\overline{A})=\frac{1}{9}$，
$P(X = 1)=C_2^1\times(1 - \frac{1}{3})\times\frac{1}{3}\times(1 - \frac{1}{2})^2+(1 - \frac{1}{3})^2\times C_2^1\times(1 - \frac{1}{2})\times\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$，
$P(X = 2)=(\frac{1}{3})^2\times(1 - \frac{1}{2})^2+(1 - \frac{1}{3})^2\times(\frac{1}{2})^2+C_2^1\times(1 - \frac{1}{3})\times\frac{1}{3}\times C_2^1\times(1 - \frac{1}{2})\times\frac{1}{2}=\frac{13}{36}$，
$P(X = 3)=(\frac{1}{3})^2\times C_2^1\times(1 - \frac{1}{2})\times\frac{1}{2}+C_2^1\times(1 - \frac{1}{3})\times\frac{1}{3}\times(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{6}$，
$P(X = 4)=(\frac{1}{3})^2\times(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{36}$，
所以$E(X)=0\times\frac{1}{9}+1\times\frac{1}{3}+2\times\frac{13}{36}+3\times\frac{1}{6}+4\times\frac{1}{36}=\frac{5}{3}$。
(2)由m = n，可视为小明从甲口袋中有放回地摸出一个球，连续摸4次，相当于4次独立重复试验，
设小明每次摸出一个红球的概率为k（0＜k＜1），
则$P(k)=C_4^1k^3(1 - k)=4(k^3 - k^4)$。
因为$P'(k)=-16k^2(k - \frac{3}{4})$，
所以当0＜k＜$\frac{3}{4}$时，$P'(k)＞0$；
当$\frac{3}{4}$＜k＜1时，$P'(k)＜0$，
所以P(k)在区间$(0,\frac{3}{4})$上单调递增，在区间$(\frac{3}{4},1)$上单调递减，
所以当$k = \frac{3}{4}$时，P(k)最大，
此时$k=\frac{m}{m + 2}=\frac{3}{4}$，
解得m = 6，
故当m = 6时，P最大。

跟踪演练2　(2024·沧州模拟)某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票和双程上下山票。为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36,60和24。
（1）若按购票类型采用按比例分配的分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率；
（2）记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的$m(m ＞ 2且m\in \mathbf{N}^*)$人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为$A$，否则该组标为$B$，记询问的某组被标为$B$的概率为$p$。
①试用含$m$的代数式表示$p$；
②若一共询问了5组，用$g(p)$表示恰有3组被标为$B$的概率，试求$g(p)$的最大值及此时$m$的值。

答案： 解　
(1)因为购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数之比为3:5:2，所以这10人中，购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为$10\times\frac{3}{10}=3$，$10\times\frac{5}{10}=5$，$10\times\frac{2}{10}=2$，
故随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率$P=\frac{C_3^2C_7^2}{C_{10}^4}=\frac{3}{10}$。
(2)①从m + 2人中任选2人，有Cₘ₊₂²种选法，其中购票类型相同的有Cₘ² + C₂²种选法，
则询问的某组被标为B的概率
$p = 1-\frac{C_m^2 + C_2^2}{C_{m + 2}^2}=1-\frac{m^2 - m + 2}{m^2 + 3m + 2}=\frac{4m}{m^2 + 3m + 2}$。
②由题意，5组中恰有3组被标为B的概率$g(p)=C_5^3p^3(1 - p)^2=10p^3(1 - 2p + p^2)=10(p^3 - 2p^4 + p^5)$，
所以$g'(p)=10(3p^2 - 8p^3 + 5p^4)=10p^2(p - 1)(5p - 3)$，0＜p＜1，
所以当$p\in(0,\frac{3}{5})$时，$g'(p)＞0$，函数g(p)单调递增；
当$p\in(\frac{3}{5},1)$时，$g'(p)＜0$，函数g(p)单调递减，
所以当$p = \frac{3}{5}$时，g(p)取得最大值，
且最大值为$g(\frac{3}{5})=C_5^3\times(\frac{3}{5})^3\times(1 - \frac{3}{5})^2=\frac{216}{625}$。
由$p=\frac{4m}{m^2 + 3m + 2}=\frac{3}{5}$，m＞2且m∈N*，得m = 3。即当m = 3时，5组中恰有3组被标为B的概率最大，且g(p)的最大值为$\frac{216}{625}$。