《2025年步步高大二轮专题复习高中数学》

例3 (2024·襄阳模拟)柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.
定理内容为：设函数$f(x)$，$g(x)$满足：
①图象在$[a,b]$上是一条连续不断的曲线；
②在$(a,b)$内可导；
③对$\forall x\in(a,b)$，$g'(x)\neq0$，则$\exists\xi\in(a,b)$，使得$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$.
特别地，取$g(x)=x$，则$\exists\xi\in(a,b)$，使得$\frac{f(b)-f(a)}{b - a}=f'(\xi)$，此情形称之为拉格朗日中值定理.
(1)设函数$f(x)$满足$f(0)=0$，其导函数$f'(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，证明：函数$y=\frac{f(x)}{x}$在$(0,+\infty)$上单调递增；
(2)若$\forall a,b\in(0,e)$且$a\gt b$，不等式$\frac{\ln a}{b}-\frac{\ln b}{a}+m(\frac{b}{a}-\frac{a}{b})\leq0$恒成立，求实数$m$的取值范围.

答案： 例3　
(1)证明　由题$\frac{f(x)}{x}=\frac{f(x)-f(0)}{x - 0}$，由拉格朗日中值定理知，对$\forall x ＞ 0$，$\exists\xi\in(0,x)$，使得$\frac{f(x)-f(0)}{x - 0}=f^{\prime}(\xi)$，即$\frac{f(x)}{x}=f^{\prime}(\xi)$，又$f^{\prime}(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，则$f^{\prime}(x)＞f^{\prime}(\xi)$，即$f^{\prime}(x)＞\frac{f(x)}{x}$，即当$x ＞ 0$时，$xf^{\prime}(x)-f(x)＞0$，所以$[\frac{f(x)}{x}]^{\prime}=\frac{xf^{\prime}(x)-f(x)}{x^{2}}＞0$，故$y=\frac{f(x)}{x}$在$(0,+\infty)$上单调递增.
(2)解　因为$a ＞ b$，所以$\frac{\ln a}{b}-\frac{\ln b}{a}+m(\frac{b}{a}-\frac{a}{b})\leqslant0\Leftrightarrow\frac{a\ln a - b\ln b}{a^{2}-b^{2}}\leqslant m$，取$f(x)=x\ln x$，$g(x)=x^{2}$，因为$a ＞ b$，且$a$，$b\in(0,e)$，所以由柯西中值定理，$\exists\xi\in(b,a)$，使得$\frac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)}=\frac{a\ln a - b\ln b}{a^{2}-b^{2}}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}=\frac{1+\ln\xi}{2\xi}$，由题意得$\frac{1+\ln\xi}{2\xi}\leqslant m$，设$G(x)=\frac{1+\ln x}{2x}(0 ＜ x ＜ e)$，$G^{\prime}(x)=\frac{-\ln x}{2x^{2}}$，当$0 ＜ x ＜ 1$时，$G^{\prime}(x)＞0$，当$1 ＜ x ＜ e$时，$G^{\prime}(x)＜0$，所以$G(x)$在$(0,1)$上单调递增，在$(1,e)$上单调递减，所以$G(x)_{\max}=G(1)=\frac{1}{2}$，故$m\geqslant\frac{1}{2}$，所以实数$m$的取值范围是$[\frac{1}{2},+\infty)$.