《2025年步步高大二轮专题复习高中数学》

考向1　相互独立事件
例2　(多选)(2024·昆明模拟)在一个有限样本空间中，事件A，B，C发生的概率满足$P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{3}$，$P(A\cup B)=\frac{5}{9}$，A与C互斥，则下列说法正确的是　　　　　　　　(　　　)
A. $P(A\overline{C})=\frac{1}{3}$
B. A与B相互独立
C. $P(ABC)=\frac{1}{27}$
D. $P(A\cup B\cup C)\leqslant\frac{8}{9}$

答案： ABD　[A选项，A与C互斥，故$A\cap C = \varnothing$，$P(AC)=0$，则$\overline{C}$包含事件A，故$P(A\overline{C}) = P(A)=\frac{1}{3}$，A正确；
B选项，$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$，
即$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-P(A\cap B)=\frac{5}{9}$，
故$P(A\cap B)=\frac{1}{9}$，
故$P(A\cap B)=P(A)P(B)$，A与B相互独立，B正确；
C选项，A与C互斥，故AB与C互斥，$P(ABC)=P[(AB)\cap C]=0$，C错误；
D选项，$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)$
$=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}-P(BC)=\frac{8}{9}-P(BC)$，
因为$P(BC)\geqslant0$，故$P(A\cup B\cup C)=\frac{8}{9}-P(BC)\leqslant\frac{8}{9}$，D正确。]

考向2　超几何分布
例3　(2024·聊城模拟)随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，新零售背景下，即时配送行业稳定快速增长. 某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高客户满意度，在其A，B两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查(满分100分)，评分结果如下：
分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91.
分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89.
(1)求抽取的这20位客户评分的第一四分位数；
(2)规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中分公司B的客户人数为X，求X的分布列和数学期望.

答案： 解　
(1)将抽取的这20位客户的评分从小到大排列为：62，66，70，72，73，77，78，79，80，80，82，85，86，86，87，89，91，91，92，94。
因为$20\times25\% = 5$，所以抽取的这20位客户评分的第一四分位数为$\frac{73 + 77}{2}=75$。
(2)由已知得分公司A中75分以下的有66分，72分；分公司B中75分以下的有62分，70分，73分，
所以上述不满意的客户共5人，其中分公司A中2人，分公司B中3人。
所以X的所有可能取值为1，2，3，
$P(X = 1)=\frac{C_{2}^{1}C_{3}^{0}}{C_{5}^{1}}=\frac{3}{10}$；
$P(X = 2)=\frac{C_{2}^{1}C_{3}^{1}}{C_{5}^{2}}=\frac{3}{5}$；
$P(X = 3)=\frac{C_{2}^{0}C_{3}^{2}}{C_{5}^{2}}=\frac{1}{10}$，
所以X的分布列为
|X|1|2|3|
|P|$\frac{3}{10}$|$\frac{3}{5}$|$\frac{1}{10}$|
数学期望$E(X)=1\times\frac{3}{10}+2\times\frac{3}{5}+3\times\frac{1}{10}=\frac{9}{5}$。