《2025年步步高大二轮专题复习高中数学》

考向2　奇偶性与周期性、对称性
例5　(多选)(2024·三门峡模拟)已知函数$f(x)$及其导函数$f'(x)$，且$g(x)=f'(x)$，若$\forall x\in\mathbf{R}$，$f(x)=f(6 - x)$，$g(4 + x)=g(4 - x)$，则
　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. $f(-2)=f(8)$
B. $g(-1)+g(3)=2$
C. $\sum_{i = 1}^{2025}g(i)=0$
D. $f(0)+f(4)=2$

答案： AC [因为$f(x)=f(6 - x)$，所以$f(x)$的图象关于直线$x = 3$对称.
令$x=-2$，得$f(-2)=f(8)$，故A项正确；
因为$f(x)=f(6 - x)$，所以$f'(x)=-f'(6 - x)$，即$g(x)=-g(6 - x)$，
所以$g(4 + x)=-g(2 - x)$，
因为$g(4 + x)=g(4 - x)$，
所以$g(4 - x)=-g(2 - x)$，
即$g(x + 2)=-g(x)$，所以$g(x + 4)=-g(x + 2)=g(x)$，则$g(x)$的一个周期为4.
因为$f(x)$的图象关于直线$x = 3$对称，所以$x = 3$是$f(x)$的一个极值点，所以$g(3)=f'(3)=0$，
所以$g(-1)=g(3)=0$，
则$g(-1)+g(3)=0$，故B项错误；
由$g(x + 2)=-g(x)$，得$g(1)+g(3)=0$，$g(2)+g(4)=0$，
即$g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=0$，
所以$\sum_{i = 1}^{2025}g(i)=506[g(1)+g(2)+g(3)+g(4)]+g(1)=g(1)=0$，故C项正确；
设$h(x)=f(x)+c$（$c$为常数），定义域为R，
则$h'(x)=f'(x)=g(x)$，$h(3 + x)=f(3 + x)+c$，$h(3 - x)=f(3 - x)+c$，
又$f(3 + x)=f(3 - x)$，
所以$h(3 + x)=h(3 - x)$，
显然$h(x)=f(x)+c$也满足题设，即$f(x)$上、下平移均满足题设，显然$f(0)+f(4)$的值不确定，故D项错误.]

跟踪演练3　(1)已知函数$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的偶函数，对任意$x_{1},x_{2}\in[0,+\infty)$，且$x_{1}\neq x_{2}$，有$\frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}＞0$，若$f(1)=0$，则不等式$(x - 1)f(x)＞0$的解集是　　　　　(　　　)
A. $(-1,1)\cup(1,+\infty)$
B. $(-1,1)$
C. $(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$
D. $(-\infty,-1)\cup(0,1)$

答案：
(1)A

(2)(多选)(2024·开封模拟)已知函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，且$f(x + y)+f(x - y)=f(x)f(y)$，$f(1)=1$，则
　　　　　　　　(　　　)
A. $f(0)=2$
B. $f(3 - x)=f(3 + x)$
C. $f(x)$是周期函数
D. $f(x)$的解析式可能为$f(x)=2\sin\frac{\pi}{6}x$

答案：
(2)ABC

例1
（1）（2024·深圳模拟）已知$a ＞ 0，且a \neq 1$，则函数$y = \log_{a}(x + \frac{1}{a})$的图象一定经过（ ）
A. 一、二象限
B. 一、三象限
C. 二、四象限
D. 三、四象限

答案： 例1　
(1)D

（2）（2024·成都模拟）已知函数$f(x) = 2^{ax^{2}-x + 1}$的值域为$M$。若$(1，+ \infty ) \subseteq M$，则实数$a$的取值范围是（ ）
A. $(- \infty ，\frac{1}{4}]$
B. $[0，\frac{1}{4}]$
C. $(- \infty ，-\frac{1}{4}] \cup [\frac{1}{4}，+ \infty )$
D. $[\frac{1}{4}，+ \infty )$

答案：
(2)B

跟踪演练1
（1）（2024·湖北宜荆荆随恩模拟）已知函数$f(x) = \log_{5}(a^{x}-2)$在$[1，+ \infty )$上单调递增，则$a$的取值范围是（ ）
A. $(1，+ \infty )$
B. $[\ln 2，+ \infty )$
C. $(2，+ \infty )$
D. $[2，+ \infty )$

答案： 跟踪演练1　
(1)C