《2025年步步高大二轮专题复习高中数学》

例3　已知点F(0，$\sqrt{5}$)，直线l：y = $\frac{4\sqrt{5}}{5}$，动点P到F的距离与到直线l的距离之比为$\frac{\sqrt{5}}{2}$。
(1)求动点P的轨迹Γ的方程；
(2)设点M是轨迹Γ上一点，在直线y = 2x，y = - 2x上分别取点A，B，当A，B分别位于第一、二象限时，若$\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{MB}$，λ∈$[\frac{1}{2},3]$，求△AOB面积的取值范围。
附：在△ABC中，若$\overrightarrow{AB}=(x_1,y_1)$，$\overrightarrow{AC}=(x_2,y_2)$，则△ABC的面积为$\frac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|$。

答案： 例3　解　
(1)设P(x,y)，点P到直线l的距离为d，
由已知可得$\frac{|PF|}{d}=\frac{\sqrt{5}}{2}，$即$\frac{\sqrt{x²+(y - \sqrt{5})²}}{\left|y-\frac{4\sqrt{5}}{5}\right|}=\frac{\sqrt{5}}{2}，$
两边平方得，$x²+(y - \sqrt{5})²=\frac{5}{4}(y-\frac{4\sqrt{5}}{5})²，$
整理得$\frac{y²}{4}-x²=1.$故动点P的轨迹Γ的方程为$\frac{y²}{4}-x²=1.(2)$设M(x₀,y₀)，A(x₁,2x₁)，B(x₂,-2x₂)，$\overrightarrow{AM}=(x₀ - x₁,y₀ - 2x₁)，$$\overrightarrow{MB}=(x₂ - x₀,-2x₂ - y₀)，$
因为$\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{MB}，$所以$\begin{cases}x₀ - x₁=\lambda(x₂ - x₀)\\y₀ - 2x₁=\lambda(-2x₂ - y₀)\end{cases}，$
即$\begin{cases}x₀=\frac{x₁+\lambda x₂}{1+\lambda}\\y₀=\frac{2(x₁-\lambda x₂)}{1+\lambda}\end{cases}，$
将点M(x₀,y₀)代入双曲线方程，得$(\frac{x₁-\lambda x₂}{1+\lambda})²-(\frac{x₁+\lambda x₂}{1+\lambda})²=1，$
化简得$x₁x₂=-\frac{(1 + \lambda)²}{4\lambda}，$
所以△AOB的面积为$S=\frac{1}{2}|x₁(-2x₂)-x₂·2x₁|=2|x₁x₂|=\frac{(1 + \lambda)²}{2\lambda}=\frac{1}{2}(\lambda+\frac{1}{\lambda}+2)，$
因为$\lambda∈[\frac{1}{2},3]，$所以$2≤\lambda+\frac{1}{\lambda}≤\frac{10}{3}，$$S=\frac{1}{2}(\lambda+\frac{1}{\lambda}+2)∈[2,\frac{8}{3}]，$
故△AOB面积的取值范围为$[2,\frac{8}{3}].$

跟踪演练3　已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x² = 4y的焦点，离心率e = $\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A，B两点，设点M(m，0)是线段OF上的一个动点，且($\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$)⊥$\overrightarrow{AB}$，求m的取值范围。

答案：
跟踪演练3　解
(1)由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为$\frac{x²}{a²}+\frac{y²}{b²}=1(a＞b＞0)，$
由抛物线方程为x² = 4y，可得其焦点为(0,1)，则椭圆的一个顶点为(0,1)，即b = 1，
由$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b²}{a²}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}，$解得a² = 5，
∴椭圆的标准方程为$\frac{x²}{5}+y²=1. $
(2)由
(1)得F(2,0)，则0≤m≤2，
设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，x₁≠x₂，
结合题意可设直线l的方程为y = k(x - 2)(k≠0)，
由$\begin{cases}\frac{x²}{5}+y²=1\\y = k(x - 2)\end{cases}，$消去y得(5k² + 1)x²-20k²x + 20k² - 5 = 0，
直线l过椭圆焦点，必有Δ＞0，
∴$x₁ + x₂=\frac{20k²}{5k² + 1}，$$x₁x₂=\frac{20k² - 5}{5k² + 1}，$
则y₁ + y₂ = k(x₁ + x₂ - 4)，$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=(x₁ + x₂ - 2m,y₁ + y₂)，$$\overrightarrow{AB}=(x₂ - x₁,y₂ - y₁)，$
∵$(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB})⊥\overrightarrow{AB}，$
∴$(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB})·\overrightarrow{AB}=0，$
∴(x₁ + x₂ - 2m)(x₂ - x₁)+(y₁ + y₂)(y₂ - y₁)=0，
两边同除以x₂ - x₁，有$(x₁ + x₂ - 2m)+\frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁}(y₁ + y₂)=0⇒x₁ + x₂ - 2m + k(y₁ + y₂)=0，$
∴2m = x₁ + x₂ + k(y₁ + y₂)，
∴$2m=\frac{20k²}{5k² + 1}+k²·(\frac{20k²}{5k² + 1}-4)=\frac{20k² - 4k²}{5k² + 1}=\frac{16k²}{5k² + 1}，$
则$m=\frac{8k²}{5k² + 1}=\frac{8}{5+\frac{1}{k²}}∈(0,\frac{8}{5})，$
∴m的取值范围为$(0,\frac{8}{5}).$