《2025年步步高大二轮专题复习高中数学》

跟踪演练1　(2023·南平模拟)已知曲线$y = a\ln x$和曲线$y = x^2$有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则直线l的方程为________________.

答案： $2\sqrt{e}x - y - e = 0$

例2　(2024·大连模拟)斜率为1的直线l与曲线$y = \ln(x + a)$和圆$x^2 + y^2 = \frac{1}{2}$都相切，则实数a的值为 （ ）
A. 0或2
B. -2或0
C. -1或0
D. 0或1

答案： A

跟踪演练2　(2024·河南省部分重点高中联考)
若两个函数$f(x) = \ln x + a$和$g(x) = be^x(a，$b∈R)存在过点$(2,\frac{1}{2})$的公切线，设切点坐标分别为$(x_1,f(x_1))，$$(x_2,g(x_2))$，则$(x_1 + 2x_2)·[f(x_1) + 2g(x_2)]$ = __________.

答案： 9

例3　(2024·广州模拟)曲线$C_1:y = x^2$与曲线$C_2:y = \ln x$公切线的条数是 （ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

答案：
C　[设公切线与 $y = x^{2}$ 的切点为 $(x_{1},x_{1}^{2})$，与 $y = \ln x$ 的切点为 $(x_{2},\ln x_{2})$，$y = x^{2}$ 的导数为 $y' = 2x$，$y = \ln x$ 的导数为 $y' = \frac{1}{x}$。
则在切点 $(x_{1},x_{1}^{2})$ 处的切线方程为 $y - x_{1}^{2} = 2x_{1}(x - x_{1})$，即 $y = 2x_{1}x - x_{1}^{2}$。
则在切点 $(x_{2},\ln x_{2})$ 处的切线方程为 $y - \ln x_{2} = \frac{1}{x_{2}}(x - x_{2})$，即 $y = \frac{1}{x_{2}}x + \ln x_{2} - 1$。
$\therefore \begin{cases}2x_{1} = \frac{1}{x_{2}}\\x_{1}^{2} = 1 - \ln x_{2}\end{cases}$，整理得到 $x_{1}^{2} - \ln x_{1} = 1 + \ln 2$。
令 $f(x) = x^{2} - \ln x$，$x \in (0,+\infty)$，则 $f'(x) = 2x - \frac{1}{x} = \frac{2x^{2} - 1}{x}$。
令 $f'(x) ＞ 0$，得 $x ＞ \frac{\sqrt{2}}{2}$；令 $f'(x) ＜ 0$，得 $0 ＜ x ＜ \frac{\sqrt{2}}{2}$。
$\therefore f(x)$ 在区间 $(0,\frac{\sqrt{2}}{2})$ 上单调递减，在区间 $(\frac{\sqrt{2}}{2},+\infty)$  上单调递增。
$f(x)_{\min} = f(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\ln 2 ＜ 1 + \ln 2$。
即函数 $f(x)$ 与 $y = 1 + \ln 2$ 的图象如图所示，由图可知，函数 $f(x)$ 的图象与直线 $y = 1 + \ln 2$ 有两个交点，则方程 $x_{1}^{2} - \ln x_{1} = 1 + \ln 2$ 有两个不相等的正根，即曲线 $C_{1}:y = x^{2}$ 与曲线 $C_{2}:y = \ln x$ 公切线的条数是 2。]

跟踪演练3　已知函数$f(x) = x^3 - x，$则与曲线y = f(x)和$y = x^2 + \frac{1}{4}$均相切的直线l有 （ ）
A. 1条
B. 2条
C. 3条
D. 4条

答案： C

例4　(2024·曲靖模拟)已知a＞0，若点P为曲线$C_1:y = \frac{x^2}{2} + ax - m$与曲线$C_2:y = 2a^2\ln x$的交点，且两条曲线在点P处的切线重合，则实数m的取值范围是 （ ）
$A. (-\infty,e^{-\frac{1}{2}}] B. (-\infty,e^{\frac{1}{4}}]$
$C. (-\infty,e^{\frac{1}{2}}] D. (-\infty,2e]$

答案： C　[设点 $P$ 的横坐标为 $n(n ＞ 0)$，则由 $y = \frac{x^{2}}{2} + ax - m$ 可得 $y' = x + a$，又 $y = 2a^{2}\ln x$ 可得 $y' = \frac{2a^{2}}{x}$。
且两条曲线在点 $P$ 处的切线重合，所以切线的斜率 $k = n + a = \frac{2a^{2}}{n}(a ＞ 0)$，解得 $n = a$ 或 $n = -2a$（舍去），即点 $P$ 的横坐标为 $a(a ＞ 0)$。
由点 $P$ 为曲线 $C_{1}:y = \frac{x^{2}}{2} + ax - m$ 与曲线 $C_{2}:y = 2a^{2}\ln x$ 的交点，所以 $\frac{a^{2}}{2} + a^{2} - m = 2a^{2}\ln a$，即 $m = -2a^{2}\ln a + \frac{3}{2}a^{2}$。
令 $f(a) = -2a^{2}\ln a + \frac{3}{2}a^{2}(a ＞ 0)$，则 $f'(a) = -4a\ln a + a = a(1 - 4\ln a)$，令 $f'(a) = 0$ 可得 $a = e^{\frac{1}{4}}$。
由 $a ＞ 0$ 知，当 $0 ＜ a ＜ e^{\frac{1}{4}}$ 时，$f'(a) ＞ 0$，当 $a ＞ e^{\frac{1}{4}}$ 时，$f'(a) ＜ 0$。
所以 $f(a)$ 在 $(0,e^{\frac{1}{4}})$ 上单调递增，在 $(e^{\frac{1}{4}},+\infty)$ 上单调递减。
所以 $f(a)_{\max} = f(e^{\frac{1}{4}}) = e^{\frac{1}{2}}$，当 $a \to +\infty$ 时，$f(a) \to -\infty$，则实数 $m$ 的取值范围为 $(-\infty,e^{\frac{1}{2}}]$。

跟踪演练4　若曲线$y = kx^{-1}(k＜0)$与曲线$y = e^x$有三条公切线，则k的取值范围是________.

答案： $(-\frac{1}{e},0)$

例1　（2024·绵阳模拟）已知函数$f(x)$满足$f(x)=f(-x)$，且当$x\in(-\infty,0]$时，$f(x)+xf'(x)＞0$成立，若$a = 3^{0.2}f(3^{0.2})$，$b = (\ln 2)\cdot f(\ln 2)$，$c=\left(\log_{3}\frac{1}{9}\right)f\left(\log_{3}\frac{1}{9}\right)$，则$a$，$b$，$c$的大小关系是　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. $a＞b＞c$
B. $c＞b＞a$
C. $c＞a＞b$
D. $a＞c＞b$

答案： 例1 A

跟踪演练1　（2024·石家庄二中统考）已知函数$f(x)$的定义域为$(-\infty,0)$，$f(-1)=-1$，其导函数$f'(x)$满足$xf'(x)-2f(x)＞0$，则不等式$f(x + 2025)+(x + 2025)^{2}＜0$的解集为　　　　(　　　)
A. $(-2026,0)$
B. $(-2026,-2025)$
C. $(-\infty,-2026)$
D. $(-\infty,-2025)$

答案： 跟踪演练1 B