《2025年步步高大二轮专题复习高中数学》

例1　(1)已知F是椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞b＞0)$的一个焦点，若过原点的直线与椭圆交于A，B两点，且$\angle AFB = 120^{\circ}$，则椭圆离心率的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.$[\frac{\sqrt{3}}{2},1)$　　　　　
B.$(0,\frac{\sqrt{3}}{2}]$
C.$[\frac{1}{2},1)$　　　　　
D.$(0,\frac{1}{2}]$

答案：
例1　
(1)C　[设椭圆左、右焦点分别为$F_1$，$F_2$，连接$F_1A$，$F_1B$，由椭圆及直线的对称性知，四边形$AFBF_1$为平行四边形，且$\angle AFB = 120^{\circ}$，$\angle F_1AF_2 = 60^{\circ}$，在$\triangle AF_1F_2$中，$|F_1F_2|^2 = |AF_1|^2 + |AF_2|^2 - 2|AF_1|\cdot|AF_2|\cos\angle F_1AF_2=(|AF_1| + |AF_2|)^2 - 3|AF_1|\cdot|AF_2|$，$\therefore(|AF_1| + |AF_2|)^2 - |F_1F_2|^2 = 3|AF_1|\cdot|AF_2|\leqslant3\left(\frac{|AF_1| + |AF_2|}{2}\right)^2$，当且仅当$|AF_1| = |AF_2|$时等号成立，可得$\frac{1}{4}(|AF_1| + |AF_2|)^2\leqslant|F_1F_2|^2$，即$a^2\leqslant4c^2$，则$e = \frac{c}{a}\geqslant\frac{1}{2}$，又$\because$椭圆的离心率$e\in(0,1)$，$\therefore$椭圆的离心率$e\in\left[\frac{1}{2},1\right)$.]

(2)已知$F_{1}$，$F_{2}$分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，且$\angle F_{1}PF_{2}=\frac{\pi}{3}$，设$\angle PF_{1}F_{2}=\theta$，当双曲线C的离心率取值范围为$(\frac{\sqrt{6}}{2},\sqrt{3})$时，$\theta$的取值范围为　　　　　　(　　　)
A.$(0,\frac{\pi}{12})$　　　　　　
B.$(\frac{\pi}{12},\frac{\pi}{6})$
C.$(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3})$　　　　　
D.$(\frac{\pi}{12},\frac{\pi}{3})$

答案： 例1　
(2)B　[在$\triangle F_1PF_2$中，$e = \frac{c}{a} = \frac{|F_1F_2|}{2a} = \frac{|F_1F_2|}{|PF_1| + |PF_2|}=\frac{\sin\angle F_1PF_2}{\sin\angle PF_2F_1 - \sin\angle PF_1F_2}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sin\left(\frac{\pi}{3}+\theta\right)-\sin\theta}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{6}+\theta\right)}$，因为$e\in\left(\frac{\sqrt{6}}{2},\sqrt{3}\right)$，所以$\cos\left(\frac{\pi}{6}+\theta\right)\in\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$，所以$\frac{\pi}{6}+\theta\in\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}\right)$，所以$\theta$的取值范围为$\left(\frac{\pi}{12},\frac{\pi}{6}\right)$.]

跟踪演练1　(2024·荆州模拟)已知$F_{1}$，$F_{2}$是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且$\angle F_{1}PF_{2}=\frac{\pi}{3}$，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为　　　　　　　　　　(　　　)
A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$　　
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$　　
C.$\frac{\sqrt{6}}{2}$　　
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案： 跟踪演练1　A

例2　(1)椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞b＞0)$上存在一点P满足$F_{1}P\perp F_{2}P$，$F_{1}$，$F_{2}$分别为椭圆的左、右焦点，则椭圆的离心率的取值范围是　　(　　　)
A.$(0,\frac{1}{2}]$　　　　　　
B.$(0,\frac{\sqrt{2}}{2}]$
C.$[\frac{1}{2},1)$　　　　　
D.$[\frac{\sqrt{2}}{2},1)$

答案：
例2　
(1)D　[当点$P$位于短轴的端点时，$\angle F_1PF_2$最大，要使椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a ＞ b ＞ 0)$上存在一点$P$满足$F_1P\perp F_2P$，只要$\angle F_1PF_2$最大时大于等于$\frac{\pi}{2}$即可，即当点$P$位于短轴的端点时，$\angle OPF_1\geqslant\frac{\pi}{4}$，所以$\sin\angle OPF_1 = \frac{c}{a}\geqslant\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，又椭圆的离心率$e\in(0,1)$，所以椭圆的离心率的取值范围是$\left[\frac{\sqrt{2}}{2},1\right)$.]

(2)已知P为椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞b＞0)$上一点，$F_{1}$，$F_{2}$为椭圆焦点，且$|PF_{1}| = 3|PF_{2}|$，则椭圆离心率的取值范围是　　　　　　　(　　　)
A.$(0,\frac{1}{3}]$　　　　　　
B.$[\frac{1}{3},1)$
C.$(0,\frac{1}{2}]$　　　　　　
D.$[\frac{1}{2},1)$

答案： 例2　
(2)D　[由$P$为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a ＞ b ＞ 0)$上一点，$|PF_1| + |PF_2| = 2a$，又$|PF_1| = 3|PF_2|$，所以$|PF_2| = \frac{a}{2}$，又$a - c\leqslant|PF_2|\leqslant a + c$，即$a - c\leqslant\frac{a}{2}\leqslant a + c$，即$\begin{cases}a - c\leqslant\frac{a}{2}\\\frac{a}{2}\leqslant a + c\end{cases}$，得$\frac{a}{2}\leqslant c$，即$\frac{1}{2}\leqslant e ＜ 1$.]

跟踪演练2　已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞0,b＞0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$，$F_{2}$，若双曲线上存在点P，使$\frac{\sin\angle PF_{1}F_{2}}{\sin\angle PF_{2}F_{1}}=\frac{a}{c}$，则该双曲线的离心率的取值范围为　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.$(1,1+\sqrt{2})$　　　
B.$(1,1+\sqrt{3})$
C.$(1,1+\sqrt{2}]$　　　
D.$(1,1+\sqrt{3}]$

答案： 跟踪演练2　A