《2025年步步高大二轮专题复习高中数学》

例1 (1)(2024·新课标全国I)已知$\cos(\alpha+\beta)=m$，$\tan\alpha\tan\beta = 2$，则$\cos(\alpha - \beta)$等于（ ）
A. $-3m$
B. $-\frac{m}{3}$
C. $\frac{m}{3}$
D. $3m$

答案： A

(2) 已知$\alpha,\beta,\gamma$均是锐角，设$\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\gamma+\sin\gamma\cos\alpha$的最大值为$\tan\theta$，则$\sin\theta(\sin\theta+\cos\theta)$等于（ ）
A. $\sqrt{3}$
B. $\frac{15}{13}$
C. $1$
D. $\frac{5}{13}$

答案： B [由基本不等式可得
$\sin\alpha\cos\beta\leqslant\frac{\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\beta}{2}$，
$\sin\beta\cos\gamma\leqslant\frac{\sin^{2}\beta + \cos^{2}\gamma}{2}$，
$\sin\gamma\cos\alpha\leqslant\frac{\sin^{2}\gamma + \cos^{2}\alpha}{2}$，
三式相加，可得$\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\gamma+\sin\gamma\cos\alpha\leqslant\frac{3}{2}$，当且仅当$\alpha,\beta,\gamma$均为$\frac{\pi}{4}$时等号成立，所以$\tan\theta=\frac{3}{2}$，则$\sin\theta(\sin\theta+\cos\theta)=\frac{\sin\theta(\sin\theta + \cos\theta)}{\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta}=\frac{\tan^{2}\theta+\tan\theta}{\tan^{2}\theta + 1}=\frac{15}{13}$。]

跟踪演练1 (1)(2024·辽宁实验中学模拟)已知$\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})$，$3\sin2\alpha=\cos2\alpha + 1$，则$\tan2\alpha$等于（ ）
A. $\sqrt{2}$
B. $\sqrt{3}$
C. $\frac{3}{4}$
D. $\frac{4}{3}$

答案： C

(2)已知$f(x)=\frac{2}{\sin x}+\frac{2}{\cos x}$，$x\in(0,\frac{\pi}{2})$，则函数$y = f(x)$的最小值为__________。

答案： $4\sqrt{2}$

例2 (1)(2024·海口模拟)
已知函数$f(x)=\cos(\omega x+\varphi)(\omega＞0,-\pi＜\varphi＜0)$的部分图象如图所示，则（ ）

A. $f(x)=\cos(3x+\frac{\pi}{6})$
B. $f(x)=\cos(2x+\frac{\pi}{6})$
C. $f(x)=\cos(x-\frac{5\pi}{6})$
D. $f(x)=\cos(2x-\frac{5\pi}{6})$

答案： D