《2025年步步高大二轮专题复习高中数学》

(2)(多选)(2024·杭州统考)为了得到函数$y = 2\cos2x$的图象，只要把函数$y = 2\sin(2x-\frac{\pi}{6})$图象上所有的点（ ）
A. 向左平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度
B. 向右平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度
C. 向左平移$\frac{2\pi}{3}$个单位长度
D. 向右平移$\frac{2\pi}{3}$个单位长度

答案： AD

跟踪演练2 (1)(2024·重庆模拟)已知函数$f(x)=\sin(4x+\varphi)(|\varphi|＜\frac{\pi}{2})$，先将函数$f(x)$的图象向右平移$\frac{\pi}{12}$个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，即可得到函数$g(x)$的图象。若函数$g(x)$的图象关于$y$轴对称，则$f(\frac{\pi}{8})$等于（ ）
A. $\frac{1}{2}$
B. $-\frac{1}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： C

(2)(2024·呼和浩特模拟)如图所示的曲线为函数$f(x)=A\cos(\omega x-\varphi)(A＞0,\omega＞0,|\varphi|＜\frac{\pi}{2})$的部分图象，将$y = f(x)$图象上所有点的横坐标伸长到原来的$\frac{3}{2}$倍，再将所得曲线向左平移$\frac{\pi}{8}$个单位长度，得到函数$y = g(x)$的图象，则$g(x)$的解析式为（ ）

A. $g(x)=2\cos(\frac{9x}{2}-\frac{\pi}{8})$
B. $g(x)=2\cos(2x-\frac{\pi}{8})$
C. $g(x)=2\sin2x$
D. $g(x)=2\cos2x$

答案： D

例3 (1)已知直线$x=\frac{\pi}{12}$，$x=\frac{\pi}{3}$是函数$f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)(A＞0,\omega＞0,|\varphi|＜\frac{\pi}{2})$图象的两条相邻的对称轴，且$f(\frac{\pi}{3})-f(\frac{\pi}{12})=-4$，则$f(\varphi)$等于（ ）
A. $-\sqrt{3}$
B. $\sqrt{3}$
C. $-1$
D. $1$

答案： D

(2)(多选)(2024·枣庄模拟)已知函数$f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})+\cos(2x-\frac{\pi}{6})$，则（ ）
A. 当$x\in(-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6})$时，$f(x)$的取值范围是$(-\sqrt{3},2]$
B. $f(x)$在$[-\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{6}]$上单调递增
C. $f(x)$在$[0,\pi]$上有2个零点
D. 把$f(x)$的图象向左平移$\frac{\pi}{12}$个单位长度，得到的新函数为奇函数

答案： AC [函数$f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})+\cos(2x - \frac{\pi}{6})$
$=\sin(2x+\frac{\pi}{3})+\cos(2x+\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{2})$
$=\sin(2x+\frac{\pi}{3})+\sin(2x+\frac{\pi}{3})$
$=2\sin(2x+\frac{\pi}{3})$。
选项A，当$x\in(-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6})$时，
$2x+\frac{\pi}{3}\in(-\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3})$，
所以$\sin(2x+\frac{\pi}{3})\in(-\frac{\sqrt{3}}{2},1]$，
所以$f(x)$的取值范围是$(-\sqrt{3},2]$，故A正确；
选项B，当$x\in[-\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{6}]$时，
$\frac{\pi}{12}\leqslant2x+\frac{\pi}{3}\leqslant\frac{2\pi}{3}$，
$f(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{3})$不单调，故B错误；
选项C，当$x\in[0,\pi]$时，
$\frac{\pi}{3}\leqslant2x+\frac{\pi}{3}\leqslant\frac{7\pi}{3}$，
可知当$2x+\frac{\pi}{3}=\pi$以及$2x+\frac{\pi}{3}=2\pi$，即$x=\frac{\pi}{3}$以及$x=\frac{5\pi}{6}$时，$f(x)=0$，在$[0,\pi]$上有2个零点，故C正确；
选项D，$f(x)$的图象向左平移$\frac{\pi}{12}$个单位长度，得到$g(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6})=2\cos2x$的图象，该函数为偶函数，故D错误。]