《2025年步步高大二轮专题复习高中数学》

例1 (1)(2024·重庆模拟)如图，边长为1的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC(包括端点)上一点，则$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB}$的取值范围是 （ ）

A.$[1,\frac{4 + \sqrt{2}}{4}]$ B.$[1,\frac{2 + \sqrt{2}}{2}]$
C.$[1,\frac{1 + \sqrt{2}}{2}]$ D.$[\frac{\sqrt{2}}{4},1]$

答案：
(1)C

(2)已知在菱形ABCD中，AB = BD = 6，若点M在线段AD上运动，则$\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BM}$的取值范围为____________.

答案：

(2)$[-18,18]$
解析 $\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BM}=|\overrightarrow{BC}||\overrightarrow{BM}|\cos\angle MBC$，
如图所示，

当$M$在线段$AD$上运动时可得
$-|\overrightarrow{A_1B}|\leqslant|\overrightarrow{BM}|\cos\angle MBC\leqslant|\overrightarrow{BD_1}|$，
即$-3\leqslant|\overrightarrow{BM}|\cos\angle MBC\leqslant3$，
又$|\overrightarrow{BC}| = 6$，
所以$-18\leqslant\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BM}\leqslant18$。

跟踪演练1 (1)(2024·渭南模拟)已知菱形ABCD的边长为1，$\cos\angle BAD = \frac{1}{3}$，O为菱形的中心，E是线段AB上的动点，则$\overrightarrow{DE}\cdot\overrightarrow{DO}$的最小值为 （ ）
A.$\frac{1}{3}$ B.$\frac{2}{3}$ C.$\frac{1}{2}$ D.$\frac{1}{6}$

答案：
(1)A

(2)已知平面向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}| = 1$，$|2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| = 2$，则$(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{b}$的最大值为________.

答案：
(2)20

例2 (1)(2024·咸阳模拟)已知$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$是两个单位向量，且$|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|$，若向量$\boldsymbol{c}$满足$|\boldsymbol{c} - \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| = 2$，则$|\boldsymbol{c}|$的最大值为 （ ）
A.$2 - \sqrt{2}$ B.$2 + \sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}$ D.$2\sqrt{2}$

答案：

(1)B [已知$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$是两个单位向量，且$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$，
则$\boldsymbol{a}^2 + 2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^2=\boldsymbol{a}^2 - 2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^2$，
则$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0$，则$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$，
设$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$分别是$x$轴与$y$轴正方向上的单位向量，
则$\boldsymbol{a}=(1,0)$，

$\boldsymbol{b}=(0,1)$，
$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(1,1)$，
设$\boldsymbol{c}=(x,y)$，则$\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(x - 1,y - 1)$，
因为$|\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\sqrt{(x - 1)^2+(y - 1)^2}=2$，
所以$(x - 1)^2+(y - 1)^2 = 4$，
故$\boldsymbol{c}=\overrightarrow{OC}$，点$C$的轨迹是以$(1,1)$为圆心，2为半径的圆，
圆心$M(1,1)$到原点的距离为$|\overrightarrow{OM}|=\sqrt{1^2 + 1^2}=\sqrt{2}$，
$|\boldsymbol{c}|_{\max}=|\overrightarrow{OM}|+r=\sqrt{2}+2$。]

(2)(2024·石家庄模拟)在平行四边形ABCD中，$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} + \frac{3\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AD}|} = \frac{\lambda\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，$\lambda\in[\sqrt{7},3]$，则$\cos\angle BAD$的取值范围是 （ ）
A.$[-\frac{1}{2},-\frac{1}{6}]$ B.$[-\frac{1}{2},\frac{1}{3}]$
C.$[-\frac{2}{3},\frac{1}{3}]$ D.$[-\frac{2}{3},-\frac{1}{6}]$

答案：
(2)A [设与$\overrightarrow{AB}$同方向的单位向量$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}=\boldsymbol{e}_1$，与$\overrightarrow{AD}$同方向的单位向量$\frac{\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AD}|}=\boldsymbol{e}_2$，与$\overrightarrow{AC}$同方向的单位向量$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}=\boldsymbol{e}_3$，由题意，$\boldsymbol{e}_1 + 3\boldsymbol{e}_2=\lambda\boldsymbol{e}_3$，
所以$(\boldsymbol{e}_1 + 3\boldsymbol{e}_2)^2=\lambda^2\boldsymbol{e}_3^2$，
即$\boldsymbol{e}_1^2+6\boldsymbol{e}_1\cdot\boldsymbol{e}_2 + 9\boldsymbol{e}_2^2=\lambda^2\boldsymbol{e}_3^2$，
所以$1 + 6\times1\times1\times\cos\angle BAD+9=\lambda^2$，
所以$\cos\angle BAD=\frac{\lambda^2 - 10}{6}$，
因为$\lambda\in[\sqrt{7},3]$，所以$\lambda^2\in[7,9]$，
所以$\frac{\lambda^2 - 10}{6}\in[-\frac{1}{2},-\frac{1}{6}]$，
即$\cos\angle BAD$的取值范围是$[-\frac{1}{2},-\frac{1}{6}]$。]

跟踪演练2 (1)设向量$\overrightarrow{OA} = (1,\log_{2}x)$，$\overrightarrow{OB} = (-1,1)$，当$x ＞ 4$时，$\cos\langle\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\rangle$的取值范围是 （ ）
A.$(\frac{\sqrt{10}}{10},\frac{\sqrt{2}}{2})$ B.$(\frac{\sqrt{10}}{10},1]$
C.$(0,\frac{\sqrt{10}}{10})$ D.$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$

答案：
(1)A

(2)(2024·六安模拟)已知平面向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$满足$|\boldsymbol{a}| = 1$，$|\boldsymbol{b}| = \sqrt{3}$，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = -\frac{3}{2}$，$\langle\boldsymbol{a} - \boldsymbol{c},\boldsymbol{b} - \boldsymbol{c}\rangle = 30^{\circ}$，则$|\boldsymbol{c}|$的最大值为____________.

答案：
(2)$2\sqrt{7}$

例3 (1)(2024·哈尔滨模拟)在$\triangle ABC$中，$\overrightarrow{BD} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$，P是线段AD上的动点(与端点不重合)，设$\overrightarrow{CP} = x\overrightarrow{CA} + y\overrightarrow{CB}$，则$\frac{x + y}{xy}$的最小值是____________.

答案：
(1)$2\sqrt{3}+4$

(2)设非零向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$的夹角为$\theta$，若$|\boldsymbol{a}| = 2|\boldsymbol{b}| = 2$，且不等式$|2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| \geqslant |\boldsymbol{a} + \lambda\boldsymbol{b}|$对任意的$\theta$恒成立，则实数$\lambda$的取值范围为 （ ）
A.$[-1,3]$ B.$[-1,5]$
C.$[-7,3]$ D.$[5,7]$

答案：
(2)A [$\because$非零向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$的夹角为$\theta$，$|\boldsymbol{a}| = 2|\boldsymbol{b}| = 2$，
$\therefore|\boldsymbol{b}| = 1$，
$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=2\times1\times\cos\theta = 2\cos\theta$，
$\because$不等式$|2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|\geqslant|\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b}|$对任意的$\theta$恒成立，
$\therefore(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})^2\geqslant(\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b})^2$，
$\therefore4\boldsymbol{a}^2+4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^2\geqslant\boldsymbol{a}^2+2\lambda\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\lambda^2\boldsymbol{b}^2$，
整理可得$(13-\lambda^2)+(8 - 4\lambda)\cos\theta\geqslant0$恒成立，$\because\cos\theta\in[-1,1]$，
$\therefore\begin{cases}13-\lambda^2+8 - 4\lambda\geqslant0,\\13-\lambda^2-8 + 4\lambda\geqslant0,\end{cases}$
解得$-1\leqslant\lambda\leqslant3$。]