《2025年步步高大二轮专题复习高中数学》

例2　在平面直角坐标系Oxy中，已知双曲线C：$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的一条渐近线为$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$，且点$P(\sqrt{3},\sqrt{2})$在C上。
(1)求C的方程；
(2)设C的上焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，且$\overrightarrow{AF}=7\overrightarrow{BF}$，求l的斜率。

答案： 解 （1）由双曲线标准方程可知其渐近线方程为$y = \pm \frac{a}{b}x$，
所以$\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{a}{b}$，可得$b^2 = 3a^2$，
将点$P(\sqrt{3},\sqrt{2})$代入双曲线$C$的方程可得$\frac{2}{a^2} - \frac{3}{b^2} = 1$，解得$a^2 = 1$，$b^2 = 3$，
所以双曲线$C$的方程为$y^2 - \frac{x^2}{3} = 1$。
（2）由（1）可知，上焦点$F(0,2)$，
设直线$l$的斜率为$k$，$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，
则直线$l$的方程为$y = kx + 2$，
联立$\begin{cases}y^2 - \frac{x^2}{3} = 1\\y = kx + 2\end{cases}$，
整理得$(3k^2 - 1)x^2 + 12kx + 9 = 0$，
则$3k^2 - 1 \neq 0$，$\Delta ＞ 0$，
所以$x_1 + x_2 = - \frac{12k}{3k^2 - 1}$，
$x_1x_2 = \frac{9}{3k^2 - 1}$，
又$\overrightarrow{AF} = 7\overrightarrow{BF}$，
即$(-x_1,2 - y_1) = 7(-x_2,2 - y_2)$，
可得$x_1 = 7x_2$，
方法一 （倒数相加法）
因为$\frac{x_1}{x_2} = 7$，
所以$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{(x_1 + x_2)^2}{x_1x_2} - 2 = \frac{50}{7}$，
即$\frac{(- \frac{12k}{3k^2 - 1})^2}{\frac{9}{3k^2 - 1}} - 2 = \frac{50}{7}$，
解得$k = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$，
所以直线$l$的斜率为$\pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$。
方法二 （消元法）
$\begin{cases}x_1 + x_2 = 8x_2 = - \frac{12k}{3k^2 - 1}\\x_1x_2 = 7x_2^2 = \frac{9}{3k^2 - 1}\end{cases}$，
即$[ - \frac{3k}{2(3k^2 - 1)}]^2 = \frac{9}{7(3k^2 - 1)}$，
解得$k = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$，
所以直线$l$的斜率为$\pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$。
方法三 利用焦点弦定理（此方法只能在小题中使用）：
$|e\sin\alpha| = |\frac{\lambda - 1}{\lambda + 1}|$。
由题意得$\overrightarrow{AF} = - 7\overrightarrow{FB}$，则$\lambda = - 7$，
因为$e = 2$，$\alpha$为直线$l$的倾斜角，
则有$|2\sin\alpha| = \frac{4}{3}$，解得$|\sin\alpha| = \frac{2}{3}$，
则$k = \tan\alpha = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$。