《2025年步步高大二轮专题复习高中数学》

跟踪演练2 [空间三面角余弦定理]类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线PA，PB，PC构成的三面角P - ABC，∠APC = $\alpha$，∠BPC = $\beta$，∠APB = $\gamma$，二面角A - PC - B的大小为$\theta$，则$\cos\gamma=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\cos\theta$.

(1)如图2，四棱柱$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，平面$AA_1C_1C$⊥平面$ABCD$，$∠A_1AC = 60°$，$∠BAC$ = 45°，求$∠A_1AB$的余弦值；
(2)当$\alpha$，$\beta\in(0,\frac{\pi}{2})$时，证明上述三面角余弦定理；
(3)如图3，已知三棱锥O - ABC，OA = a，OB = b，OC = c，侧面OAB，OAC，OBC的面积分别为$S_{\triangle OAB}$，$S_{\triangle OAC}$，$S_{\triangle OBC}$，以OA，OB，OC为棱的二面角分别为$\theta_1$，$\theta_2$，$\theta_3$，试猜想正弦定理在三维空间中推广的结论，并证明.

答案：
跟踪演练2　
(1)解　由平面AA$_1$C$_1$C ⊥ 平面ABCD,得二面角A$_1$ - AC - B的大小为90°,
由三面角余弦定理得cos∠A$_1$AB = cos∠A$_1$AC × cos∠CAB,
因为∠A$_1$AC = 60°,∠BAC = 45°,
所以cos∠A$_1$AB = $\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$ = $\frac{\sqrt{2}}{4}$.
(2)证明　过射线PC上一点H,作MH ⊥ PC交PA于M点,作NH ⊥ PC交PB于N点,连接MN,如图所示,
则∠MHN是二面角A - PC - B的平面角,
在△MNP中,由余弦定理得MN$^{2}$ = MP$^{2}$ + NP$^{2}$ - 2MP·NPcos$\gamma$,
在△MNH中,由余弦定理得MN$^{2}$ = MH$^{2}$ + NH$^{2}$ - 2MH·NHcos$\theta$,
两式相减得
MP$^{2}$ - MH$^{2}$ + NP$^{2}$ - NH$^{2}$ - 2MP·NPcos$\gamma$ + 2MH·NHcos$\theta$ = 0,
则2MP·NPcos$\gamma$ = 2PH$^{2}$ + 2MH·NHcos$\theta$,
两边同除以2MP·NP,得
cos$\gamma$ = cos$\alpha$cos$\beta$ + sin$\alpha$sin$\beta$cos$\theta$.
(3)解　猜想$\frac{aS_{\triangle OBC}}{\sin \theta_1}$ = $\frac{bS_{\triangle OAC}}{\sin \theta_2}$ = $\frac{cS_{\triangle OAB}}{\sin \theta_3}$.
证明　在OA上取点P,使得PO = 1,
过P作PP' ⊥ 平面OBC,P'C' ⊥ OC,P'B' ⊥ OB,
如图,
设∠BOC = $\alpha$,∠AOC = $\beta$,∠AOB = $\gamma$,
则PB' = POsin$\gamma$ = sin$\gamma$,
PP' = PB'sin$\theta_2$ = sin$\gamma$sin$\theta_2$,
同理PP' = PC'sin$\theta_3$ = sin$\beta$sin$\theta_3$,
所以sin$\gamma$sin$\theta_2$ = sin$\beta$sin$\theta_3$,
即$\frac{\sin \beta}{\sin \theta_2}$ = $\frac{\sin \gamma}{\sin \theta_3}$,
同理可证$\frac{\sin \alpha}{\sin \theta_1}$ = $\frac{\sin \beta}{\sin \theta_2}$,
所以$\frac{\sin \alpha}{\sin \theta_1}$ = $\frac{\sin \beta}{\sin \theta_2}$ = $\frac{\sin \gamma}{\sin \theta_3}$,
又因为$S_{\triangle OAB}$ = $\frac{1}{2}$absin$\gamma$,
所以sin$\gamma$ = $\frac{2S_{\triangle OAB}}{ab}$,
同理sin$\beta$ = $\frac{2S_{\triangle OAC}}{ac}$,sin$\alpha$ = $\frac{2S_{\triangle OBC}}{bc}$,
所以$\frac{\frac{2S_{\triangle OBC}}{bc}}{\sin \theta_1}$ = $\frac{\frac{2S_{\triangle OAC}}{ac}}{\sin \theta_2}$ = $\frac{\frac{2S_{\triangle OAB}}{ab}}{\sin \theta_3}$,
化简得$\frac{aS_{\triangle OBC}}{\sin \theta_1}$ = $\frac{bS_{\triangle OAC}}{\sin \theta_2}$ = $\frac{cS_{\triangle OAB}}{\sin \theta_3}$.